幾何学と不変量読書ノート 1/10 ¶

第 1 章群とは何か──群の速成コース ¶

代数系: 集合 X の上に何種類かの多項演算があって、それらの間に何らかの関係が成り立つときに、組 (X, operations) をそう呼ぶ。

例 1.4: 加法群、乗法群。
- \(\QQ,\ \RR,\ \CC\) のどれかを \(K\) とおく。このとき \(K\) からゼロを取り除いた集合は乗法群であり \(K^{\times}\) という記号で書く。
- 用語：単元
定義 1.5: 部分群。これも心得ている。
演習 1.6: \(\forall a, b \in H, ab\inv \in H\)
例 1.7: 用語：有限群、位数、四元数体、共役、体、非可換体。
- 四元数体 \(\mathbb{H}\) は非可換体であり、\(\mathbb{H}^{\times}\) は非可換群となる。
- \(\set{\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k} \subset \mathbb{H}^{\times}\) は有限部分群。
演習 1.8: パウリ行列

用語：置換、合成（写像）、恒等写像、逆写像、対称群 or 置換群、\(n\) 次対称群、「～を不変にする」or「～を固定する」、固定部分群。
- 本書では対称群 or 置換群を \(\mathfrak{S}_n\) という記号で表す。 LaTeX では \mathfrak を用いる。
演習 1.9: \(\mathfrak{S}_3\) の記述。
演習 1.10: \(H_{\set{1, 2}}\) と \(K_{\set{1, 2}}\) をそれぞれ書き出せばよいか？

用語：変換、etc.
合同変換と合同変換群の関係、対称群は合同変換群の部分群である、二面体群と正多面体群は対称群である、等々。二面体群の要素と、正多面体群の位数は何も見ないで求められるようにしておきたいところ。

対称群という用語が再定義されている？
\(n\) 次の二面体群 \(D_n\) とは正 \(n\) 角形の対称群のこと。
原点は \(D_n\) 「によって不変である」or「の固定群である」。
補題 1.11: \(D_n\) に属する回転移動は \(\set{a^k \sth 0 \le k < n}\) ここで \(a\) は角度 \({2 \pi / n}\) の回転を表す。
演習 1.12: 合同変換がある直線に関して不変であるとき、その変換は恒等変換または鏡映変換である。以下、鏡映変換を \(b\) で表す。
定理 1.13: \({D_n = \set{a^k, a^k b \sth 0 \le k < n}}\)
- \(\set{a, b}\) を生成元 or 生成系という。
演習 1.14: \({abab = e.}\)
演習 1.15: \(D_3\) は \(\mathfrak{S}_3\) と同型であるが、\(D_4\) と \(\mathfrak{S}_4\) はそうではない。位数が異なる。

演習 1.16: これは「？」だな。
演習 1.17: オイラーの関係式 \({f - e + v = 2}\)
定理 1.18
- 各面が正 \(p\) 角形の正多面体群の位数は \({2fp = 4e}\) となる。
- その回転のみからなる部分群の位数はその半分の \({fp = 2e}\) である。
演習 1.19: ある辺を固定する部分群の位数およびある頂点を固定する部分群の位数。

\({GL_n(K) \coloneqq \set{g \in M_n(K) \sth \det g \ne 0}}\)

複素平面の上半分 \({\mathfrak{H} \coloneqq \set{z \in \CC \sth \Im z > 0}}\) は多様体である。

一次分数変換: 関数 \({ \displaystyle f_g(z) = \frac{az + b}{cz + d}\ (\ z \in \mathfrak{H},\ g \in SL_2(\RR))}\) のこと。

命題 1.24: \(f_g\) についての諸性質。
- \(SL_2(\RR)\) が群の演算を保つ。
\(g \in SL_2(\RR)\) に対して \(-g\) もまた同じ変換を指定するので、これらを同一視してしまう。

\[PSL_2(\RR) \coloneqq SL_2(\RR) / \sim.\]