佐藤恒雄、野澤宗平著『初歩から学べる線形代数』より。第 8 章発展問題を解く。

  • 広義固有空間の定義では、固有値 $\lambda$ の多重度を $n$ とすると $(A - \lambda I)^n$ の核空間であるというものだが、 この $n$ を最小多項式における根 $\lambda$ の多重度にまで下げられる。というのがわからなかった。 たぶん Jordan 標準形を求めるときの変形行列の計算過程に関係があると思う。
  • Jordan 分解可能定理。Jordan 行列が対角行列と冪零行列の「直和」の形になっていることに気づけば OK だった。

  • 最終問題。次の行列を Jordan 分解する：

    \[A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix}\]

    • この問題では変換行列 $P$ が必要になるので、方程式法で解く。固有方程式を求めて根を求める。

      \[\varphi_A(x) = \begin{vmatrix} 1 - x & 0 & -1 \\ 2 & 1 - x & 0 \\ 1 & 0 & 3 - x \end{vmatrix} = (x - 1) (x - 2)^2.\]

      固有値は $1, 2$ である。後者は多重度 2 だ。

    • したがって Jordan 標準形は例えば次の形になる：

      \[J = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}\]

    • $(A - I)\bm{p}_1 = \bm{o}$ を解いておく（基底ベクトルから勝手に一つ決める）：

      \[A - I \longrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 4\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad \bm{p}_1 = \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}\]

    • $(A - 2I)\bm{p}_2 = \bm{o}$ を解いておく：

      \[A - 2I \longrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \bm{p}_2 = \begin{pmatrix} -1\\ -2\\ 1 \end{pmatrix}\]
    • なので $AP = PJ = \begin{pmatrix}\bm{p}_1& 2 \bm{p}_2& \bm{p}_2 + 2 \bm{p}_3\end{pmatrix}.$ 残るのは $(A - 2I)\bm{p}_3 = \bm{p}_2$ を解くこと。

    • $(A - 2I \quad \bm{p}_3)$ を変形する：

      \[(A - 2I \quad \bm{p}_3) \longrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 3 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \quad \bm{p}_3 = \begin{pmatrix} 1\\ 4\\ 0 \end{pmatrix}\]
    • $P = \begin{pmatrix}\bm{p}_1 & \bm{p}_2 & \bm{p}_3\end{pmatrix}$ が得られた。

    • まだ計算が続く。ここから逆行列 $P^{-1}$ を求める（変形手順省略）。

      \[P^{-1} = \begin{pmatrix} -4 & 1 & -2\\ 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\]

    • Jordan 分解に話を戻す。$A = S + N$ とし、$S$ を対角行列、$N$ を冪零行列とする。

      \[S = P \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} P^{-1}, \quad N = A - S\]

      を計算して、解答例の値を得る。