小平邦彦著『岩波講座基礎数学 解析入門 II』『IV』より。 第 4 章積分法の問題を解く。

  • 第 31 問：原始関数を求める小問群（置換積分）

    • なぜか (v) がわからない：

      \[\int\!\frac{\mathrm{d}x}{\cos{x} + a},\quad a > 0.\]
  • 第 32 問：原始関数を求める小問群（部分積分）
    • (i) $\displaystyle \int\frac{\mathrm{d}x}{(x^2 + 1)^2}$ がわからない。
    • (ii) $\displaystyle \int\mathrm{e}^{px}\cos{qx}\,\mathrm{d}x,:\int\mathrm{e}^{px}\sin{qx}\,\mathrm{d}x,\quad p \ne 0, q \ne 0$

      • それぞれ $I$, $J$ とおいて部分積分をすると次の連立方程式が得られる：

        \[\begin{aligned} pI - qJ &= \mathrm{e}^{px}\cos{qx}\\ qI - pJ &= \mathrm{e}^{px}\sin{qx} \end{aligned}\]
    • (iii) $\displaystyle \int \mathrm{e}^{-x}\sin{x}\,\mathrm{d}x$
      • (ii) と同様にする。
    • (iv) $\displaystyle \int x^n\mathrm{e}^{-x}\mathrm{d}x$
      • ガンマ関数とよく似た式だ。

      • 求める積分を $I_n$ と置くと $(n + 1)I_n = \mathrm{e}^{-x} x^{n+1} + I_{n+1}$ のような関係がわかる。したがって：

        \[\begin{aligned} I_n &= nI_{n-1} - \mathrm{e}^{-x}x^n\\ &= n((n-1)I_{n-2} - \mathrm{e}^{-x}x^{n-1}) - \mathrm{e}^{-x}x^n\\ &= \dots\\ &= -n!\:\mathrm{e}^{-x} \sum_{k=0}^n\frac{x^{n-k}}{(n-k)!} + C. \end{aligned}\]
    • (v) $\displaystyle \int\cos^4{x}\,\mathrm{d}x$
      • 前問の $\displaystyle \int\cos^3 x\,\mathrm{d}x$ の結果が使える形に部分積分する。
  • 第 33 問：広義積分
    • (i) $\displaystyle \int_0^1x^\alpha \log{x}\mathrm{d}x,\;\alpha > -1.$
      • 問題は計算途中に現れる $\displaystyle \lim_{x \to 0}x^{\alpha+1}\log{x}$ が求まるか。昨日の lHôpital の定理が使える。
    • (ii) $\displaystyle \int_0^{\pi/2}\frac{\mathrm{d}x}{a\cos^2{x} + b\sin^2{x}}$
      • 第 31 問の (iii) で原始関数はわかている。問題は $\displaystyle \lim_{x \to \pi/2}\operatorname{Arctan}(\sqrt{b/a}\tan{x})$ の値だ。
    • (iii) 第 31 問の (v) の定積分。
      • 解けていない。
    • (iv) $\displaystyle \int_0^\infty \mathrm{e}^{-x}\sin{ax}\,\mathrm{d}x\quad(a>0)$
      • 第 32 問の (ii) の $J$ の値を $p = -1, q = a$ として計算する。
  • 第 34 問：広義積分 $\displaystyle \int_0^\infty\mathrm{e}^{-x}\lvert \sin{x}\rvert\,\mathrm{d}x$
    • 少し考えて放り出した。
    • まず絶対値を外す。積分区間を ${[2k \pi, (2k + 1)\pi]}$ と ${[2(k+1) \pi, 2(k + 2)\pi]}$ に分割して和を取る形に書き直す。
    • 個々の $\displaystyle \pm \int_a^b \mathrm{e}^{-x}\sin{x}\,\mathrm{d}x$ は第 32 問の (ii) より計算できる。
    • あとは和を取ると何が起こるか、ということだと思う。

  • 第 35 問：Hermite 多項式の広義積分

    \[\int_{-\infty}^{\infty}\! x^m H_n(x) \mathrm{e}^{-x^2}\,\mathrm{d}x = \begin{cases} 0, & m < n,\\ n!\,\sqrt{\pi}, & m = n. \end{cases}\]
    • 部分積分でなんとかなりそうだが、これも投げた。

  • 第 36 問：Schwarz の不等式

    \[\left(\!\int_a^b f(x)g(x)\,\mathrm{d}x\!\right)^2 \le \left(\!\int_a^b f(x)^2\,\mathrm{d}x\!\right) \left(\!\int_a^b g(x)^2\,\mathrm{d}x\!\right)\]
    • 線形代数の教科書を参考にした。
    • まず勝手な実数 $\lambda$ をとると $\lambda f(x) + g(x)$ も連続関数である。 すると、この関数の自乗、およびその定積分は非負である、と書ける。

    • 次に $\lambda$ を次の定数で置き換えることで、所望の不等式が得られる：

      \[\lambda = -\frac{\displaystyle \int_a^b f(x)g(x)\,\mathrm{d}x} {\displaystyle \int_a^b f(x)^2\,\mathrm{d}x}.\]
  • 第 37 問：問 29 参照問題
    • $\varphi(y)$ は閉区間 $I$ 上で $y$ の $C^3$ 級関数であり $\varphi^{\prime\prime}(y) > 0.$
    • $f(x)$ は閉区間 ${[a, b]}$ で $C^0$ 級の関数である。
    • $f({[a, b]}) \subset I.$

    このとき次が成り立つ：

    \[\varphi\!\left(\!\frac{1}{b - a}\int_a^b\! f(x)\,\mathrm{d}x\!\right) \le \frac{1}{b - a}\int_a^b\! \varphi(f(x))\,\mathrm{d}x.\]
    • 平均値の定理を応用して、定積分を和の形に変形することを考えたが、時間切れ。