小平邦彦著『岩波講座基礎数学 解析入門 III』『IV』より。

  • 第 53 問：領域を内側から閉区域の可算個の和集合で表現することについて
    • $\bigcup U_n$ と $\bigcup K_1 \cup \dotsb \cup K_n$ は同じとしか思えない。

  • 第 54 問：領域 $K = \lbrace(x, y) \mid (x - 1)^2 + y^2 \le 1, y \ge 0\rbrace$ で $x^2y$ を積分する

    \[\def\dx{\mathrm{d}x} \def\dy{\mathrm{d}y} \begin{aligned} \iint_K\!x^2y\,\dx\dy &= \int_0^2\!x^2 \dx \int_0^{\sqrt{x(2-x)}}\! y\,\dy\\ &= \int_0^2\! \frac{x^3(2-x)}{2}\,\dx\\ &= \left[\frac{-x^4(2x - 5)}{20}\right]_0^2\\ &= \frac{4}{5}. \end{aligned}\]

  • 第 55 問：領域 $D = \lbrace(x, y) \mid 0 < y < x < 1\rbrace$ での積分

    \[\def\dx{\mathrm{d}x} \def\dy{\mathrm{d}y} \begin{aligned} \iint_D\!\frac{\dx\dy}{\sqrt{x^2 + y^2}} &= \int_0^1\!\dx \int_0^x \frac{\dy}{\sqrt{x^2 + y^2}}\\ &= \int_0^1\! \left[\sinh^{-1}\frac{y}{x}\right]_{y=0}^{y=x}\,\dx\\ &= \int_0^1\! \log(1 + \sqrt{2})\,\dx\\ &= \log(1 + \sqrt{2}). \end{aligned}\]
  • 第 56 問：収束判定
    • $D = \lbrace(x, y) \mid x > 0, y > 0, x + y > 1\rbrace$
    • $\displaystyle I = \iint_D\frac{\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{(x + y)^s}$ は
      • $s > 2$ で収束、
      • $s \le 2$ で発散する。

    • $s \ne 1, s\ne 2$ とすると積分は次のようになる（テキトー）：

      \[\def\dx{\mathrm{d}x} \def\dy{\mathrm{d}y} \begin{aligned} I &= \int_0^\infty\!\dx \int_{1-x}^\infty\,\frac{\mathrm{d}y}{(x + y)^s}\\ &= \int_0^\infty\!\left[\frac{(x + y)^{-s + 1}}{-s + 1}\right]_{y = 1-x}^{y = \infty} \,\dx\\ &= \lim_{Y \to \infty}\frac{1}{-s+1}\int_0^\infty (x + Y)^{-s+1}\,\dx\\ &= \lim_{Y \to \infty}\frac{1}{-s+1} \frac{1}{-s+2}\left[(x + Y)^{-s+2}\right]_{x=0}^{x=\infty}\\ &= \lim_{X \to \infty \atop Y \to \infty} \frac{1}{(1 - s)(2 - s)}(X + Y)^{2 - s}\\ &= \lim_{x \to \infty} \frac{1}{(1 - s)(2 - s)}x^{2 - s}.\\ \end{aligned}\]

      これにより $s > 2$ のとき収束、$s < 1,:1 < s < 2$ のとき発散なのは示された。 収束半径の考え方から、$s = 1$ も発散する。

    • $s = 2$ のときは個別に計算することになる：

      \[\def\dx{\mathrm{d}x} \def\dy{\mathrm{d}y} \begin{aligned} I &= \int_0^\infty\!\dx \int_{1-x}^\infty\,\frac{\mathrm{d}y}{(x + y)^2}\\ &= \int_0^\infty\! \left[\frac{-1}{x+y}\right]_{y = 1-x}^{y = \infty} \,\dx\\ &= \int_0^\infty\!1\,\dx\\ &= \infty. \end{aligned}\]

      よって $s = 2$ のときは発散する。

    • 第 57 問：二重級数の収束判定
      • $\displaystyle \sum_{m, n = 1}^\infty \frac{1}{(m + n)^s}$ は
        • $s > 2$ で絶対収束、
        • $s \le 2$ で発散する。
      • 前問を利用する。