熊原啓作著『新訂解析学』第 11 章の演習問題を解く。ただし本章の議論は読んでいない。

演習問題 11

11.3 微分方程式を解け

$(1) \quad y^\prime = ky.$

解：何も言うことがない。$C$ を任意の定数として次が一般解だ：

\[y = C \mathrm{e}^{kx}.\]

$(2) \quad y^\prime = ky(A - y).$

解：変数分離型として解く。$y \equiv 0$ は解である。以下 $y \ne 0$ とする。

\[\begin{aligned} \frac{y^{\prime}}{y(A - y)} &= k.\\ \int\!\frac{\mathrm dy}{y(A - y)} &= \frac{1}{A}\int\!\left(\frac{1}{y} + \frac{1}{A - y}\right)\mathrm dy = \int\!k\,\mathrm dx.\\ \log\lvert y \rvert + \log \lvert A - y \rvert&= kAx + C.\\ \log \lvert y(A - y) \rvert &= kAx + C.\\ y(A - y) &= C \mathrm{e}^{kAx}. \end{aligned}\]

解：Bernouli 型で $m = 2,\;a(x) = kA,\;b(x) = -k\;$ の場合だ。

$z = y^{1 - 2} = 1/y$ とおくことで、次の常微分方程式に変換できる：

\[\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x} &= (1 - m)(a(x)z + b(x))\\ &= -kAz + k.\\ \end{aligned}\]

これは一階線形非同次方程式だ。答案の紙幅の都合上公式を利用する。

\[\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x} = a(x)z + b(x).\\ \implies z = \mathrm{e}^{A(x)} \int\! \mathrm{e}^{-A(x)}b(x)\,\mathrm d{x} + C\mathrm{e}^{A(x)}, \quad A(x) = \int\!a(x)\,\mathrm dx.\\\]

本問では $a(x) = -kA,\;b(x) = k$ なので：

\[\begin{aligned} A(x) &= \int\!(-kA)\,\mathrm dx = -kAx.\\ z &= \mathrm{e}^{-kAx} \int\!\mathrm{e}^{kAx} k\,\mathrm dx + C \mathrm{e}^{-kAx}\\ &= \mathrm{e}^{-kAx} \cdot k \cdot + \frac{\mathrm{e}^{kAx}}{kA} + C\mathrm{e}^{-kAx}\\ &= \frac{1}{A} + C\mathrm{e}^{-kAx}. \end{aligned}\]

よって元のものの解はこうだ：

\[y = \frac{1}{1/A + C\mathrm{e}^{-kAx}}.\]

$(3) \quad y^\prime + y^2\sin x = 0.$

解：変数分離型として解く。$y \equiv 0$ は解だから以下 $y \ne 0$ とする。

\[\begin{aligned} \frac{y^{\prime}}{y^2} &= -\sin x.\\ \int\!\frac{\mathrm dy}{y^2} &= -\int\!\sin x\,\mathrm dx\\ -\frac{1}{y} &= \cos x + C.\\ \therefore y &= -\frac{1}{\cos x + C}. \end{aligned}\]

以上より求める解は $y = 0,\;-\dfrac{1}{\cos x + C}.$

解：Bernouli 型として解く。$m = 2,\;a(x) = 0,\;b(x) = -\sin x.$

$z = y^{1 - 2} = 1/y$ とおくことで、次に変換できる：

\[\begin{aligned} z^{\prime} &= (1 - m)(0 \cdot z - \sin x) = \sin x.\\ \therefore z &= -\cos x + C. \end{aligned}\]

変数を $y$ に戻せば次の一般解を得る：

\[y = \frac{1}{-\cos x + C}.\]

$(4) \quad y^\prime = 3x^2(1 + y^2).$

解：変数分離型として解く。

\[\begin{aligned} \int\!\frac{y^{\prime}}{1 + y^2}\,\mathrm dx &= \int\!\frac{\mathrm dy}{1 + y^2} = \int\!3x^2\,\mathrm dx.\\ \arctan y &= x^3 + C.\\ \therefore y &= \tan(x^3 + C). \end{aligned}\]

コメント：[昔の学習ノート]/diary/2019/07/15/ode.html)を参照。