熊原啓作著『新訂解析学』第 11 章の演習問題を解く。ただし本章の議論は読んでいない。

演習問題 11

11.5 微分方程式を解け

$(1) \quad y^\prime = -xy.$

解：変哲のない変数分離型。暗算で答えても許されるレベルだ。

\[\begin{aligned} \frac{y^{\prime}}{y} &= -x.\\ \log \lvert y \rvert &= -\frac{x^2}{2} + C_1.\\ \therefore y &= C\exp\left(-\frac{x^2}{2}\right). \end{aligned}\]

$(2) \quad y^\prime = y\tan x.$

解：変哲のない変数分離型。

\[\begin{aligned} \frac{y^{\prime}}{y} &= \tan x.\\ \log \lvert y \rvert &= -\log \lvert \cos x\rvert + C_1.\\ \therefore y &= \frac{1}{\cos x + C}. \end{aligned}\]

$(3) \quad y^\prime = x^3 + y.$

解：標準形に書き直すと線形非同次微分方程式になる。

\[\begin{aligned} y^\prime - y = x^3. \end{aligned}\]

対応する同次微分方程式の解は $y = C_1\mathrm{e}^x$ だから、元の微分方程式の解を

\[y = C(x)\mathrm{e}^x\]

の形をしていると仮定する。元の微分方程式に代入して展開する：

\[\begin{aligned} C^{\prime}(x)\mathrm{e}^x + C(x)\mathrm{e}^x - C(x)\mathrm{e}^x &= x^3.\\ \therefore C^{\prime}(x)\mathrm{e}^x &= x^3.\\ \end{aligned} \\ \begin{aligned} \therefore C(x) &= \int\! x^3\mathrm{e}^{-x}\,\mathrm dx\\ &= \mathrm{e}^{-x}(-x^3 - 3x^2 - 6x - 6) + C_2. \end{aligned}\]

したがって

\[\begin{aligned} y &= C(x)\mathrm{e}^x\\ &= (\mathrm{e}^{-x}(-x^3 - 3x^2 - 6x - 6) + C_2)\mathrm{e}^x\\ &= -x^3 - 3x^2 - 6x - 6 + C_2\mathrm{e}^x. \end{aligned}\]

$(4) \quad xy^\prime + (1 + x)y = \mathrm{e}^{-x}.$

解：$x \ne 0$ として標準形に書き直す。

\[y^{\prime} + \left(1 + \frac{1}{x}\right)y = \frac{\mathrm{e}^{-x}}{x}.\]

一階線形非同次微分方程式。まず対応する同次微分方程式を解く。

\[\begin{aligned} y^{\prime} + \left(1 + \frac{1}{x}\right)y &= 0.\\ \frac{y^{\prime}}{y} &= -\left(1 + \frac{1}{x}\right).\\ \log\lvert y \rvert &= -x -\log\lvert x \rvert + C_0.\\ y &= \exp(-x -\log\lvert x \rvert + C_0)\\ &= \frac{C_1e^{-x}}{x}. \end{aligned}\]

本来の解は $y = \dfrac{C(x)e^{-x}}{x}$ の形をしていると仮定して、元の微分方程式に代入して展開する。

\[\begin{aligned} &\frac{-C(x)\mathrm{e}^{-x}}{x} + \frac{C^{\prime}(x)\mathrm{e}^{-x}}{x} - \frac{C(x)\mathrm{e}^{-x}}{x^2} + \left(1 + \frac{1}{x}\right)\dfrac{C(x)e^{-x}}{x} = \frac{\mathrm{e}^{-x}}{x}.\\ & \frac{C^{\prime}(x)\mathrm{e}^{-x}}{x} = \frac{\mathrm{e}^{-x}}{x}.\\ &C^{\prime}(x) = 1.\\ \therefore C(x) &= x + C_2. \end{aligned}\]

元の微分方程式の解は：

\[y = (x + C_2)\cdot\frac{\mathrm{e}^{-x}}{x} = \mathrm{e}^{-x}\left(1 + \frac{C}{x}\right).\]

11.6 証明問題 Clairaut 型微分方程式

\[y = xy^\prime + f(y^\prime)\]

は $c$ を任意の定数として次を一般解としてもつ：

\[\tag*{$\star$} y = cx + f(c).\]

証明：$\star$ を方程式右辺に代入して展開する。

\[\begin{aligned} x(cx + f(c))^{\prime} + f((cx + f(c))^{\prime}) &= cx + f(c)\\ &= y.\\ \end{aligned}\]