熊原啓作著『新訂解析学』第 13 章の演習問題を解く。

演習問題 13

13.1 Laplace 変換を求めろ

$(1) \quad 3\mathrm{e}^{2x} - 2x^3 + 1.$

解：公式集から拾ってくる。

\[\def\L#1{ \mathscr{L}[#1] (s)} \begin{aligned} \L{3\mathrm{e}^{2x} - 2x^3 + 1} &= 3 \L{ \mathrm{e}^{2x}} - 2\L{x^3} + \L{1}\\ &= 3 \cdot \frac{1}{s - 2} - 2 \cdot \frac{3!}{s^4} + \frac{1}{s}\\ &= \frac{3}{s - 2} - \frac{12}{s^4} + \frac{1}{s}. \end{aligned}\]

$(2) \quad (x - 2)^3.$

解：展開してから変換する。

\[\def\L#1{ \mathscr{L}[#1] (s)} \begin{aligned} \L{(x - 2)^3} &= \L{x^3 - 6x^2 + 12x - 8}\\ &= \frac{3!}{s^4} - \frac{6 \cdot 2!}{s^3} + \frac{12\cdot 1!}{s^2} - \frac{8\cdot 1}{s}\\ &= \frac{6}{s^4} - \frac{12}{s^3} + \frac{12}{s^2} - \frac{8}{s} \end{aligned}\]

$(3) \quad 2\cos 3x - 3\sin 2x.$

解：公式を利用する。と思ったら解いていなかった。

\[\def\L#1{ \mathscr{L}[#1] (s)} \begin{aligned} \L{\mathrm{e}^{iax}} &= \int_0^\infty\!\mathrm{e}^{iax}\mathrm{e}^{-sx}\,\mathrm dx\\ &= \int_0^\infty\!\mathrm{e}^{-(s - ia)x}\,\mathrm dx\\ &= \frac{1}{s - ia}\\ &= \frac{s}{s^2 + a^2} + \frac{a}{s^2 + a^2}i. \end{aligned} \\ \therefore \L{\cos ax} = \frac{s}{s^2 + a^2},\quad \L{\sin ax} = \frac{a}{s^2 + a^2}.\]

元の問に戻る。

\[\def\L#1{ \mathscr{L}[#1] (s)} \begin{aligned} \L{2\cos 3x - 3\sin 2x} &= \frac{2s}{s^2 + 9} - \frac{6}{s^2 + 9}\\ &= \frac{2(s - 3)}{s^2 + 9}. \end{aligned}\]

$(4) \quad \mathrm{e}^{3x} + \sinh x.$

解：公式を利用する。

\[\def\L#1{ \mathscr{L}\left[#1\right] (s)} \begin{aligned} \L{\mathrm{e}^{3x} + \sinh x} &= \frac{1}{s - 3} + \frac{1}{s^2 - 1}. \end{aligned}\]

13.2 Laplace 変換を求めろ

Th 13.7 を利用する問題。

$(1) \quad \displaystyle \int_0^x!t^n\,\mathrm dt, \quad n \in \N.$

解： $f(t) \coloneqq t^n$ は多項式だから指数位数。 $t \ge 0$ で $C^\infty$ 級。当該定理の仮定をすべて満たす。

\[\def\L#1{ \mathscr{L}\left[#1\right] (s)} \begin{aligned} \L{\int_0^x\!f(t)\,\mathrm dt} &= \frac{1}{s}\L{x^n} - \frac{1}{s}\int_0^0\!x^n\,\mathrm dx.\\ &= \frac{n!}{s^{n+2}}. \end{aligned}\]

$(2) \quad \displaystyle \int_0^x!t\cosh at\,\mathrm dt.$

解： $f(t) \coloneqq t\cosh at$ は多項式と双曲線関数の積だから指数位数。 $t \ge 0$ で $C^\infty$ 級であるから当該定理の仮定をすべて満たす。

\[\def\L#1{ \mathscr{L}\left[#1\right] (s)} \begin{aligned} \L{\int_0^x\! f(t)\,\mathrm dt} &= \frac{1}{s}\L{x\cosh ax} + \frac{1}{s}\int_0^0\!f(x)\,\mathrm dx\\ &= \frac{1}{s}\L{x\cosh ax}\\ &= \frac{1}{2s}\int_0^\infty\!x(\mathrm{e}^{-(s - a)x} + \mathrm{e}^{-(s + a)x})\,\mathrm dx\\ \end{aligned}\]

細かい計算を分ける：

\[\begin{aligned} \int_0^\infty\!x\mathrm{e}^{-(s \pm a)x}\,\mathrm dx &= -\frac{1}{s \pm a}\left[x\mathrm{e}^{-(s \pm a)x}\right]_0^\infty + \frac{1}{s \pm a}\int_0^\infty\!\mathrm{e}^{-(s \pm a)x}\,\mathrm dx\\ &= \frac{1}{(s \pm a)^2}. \end{aligned}\] \[\begin{aligned} \therefore \frac{1}{2s}\int_0^\infty\!x(\mathrm{e}^{-(s - a)x} + \mathrm{e}^{-(s + a)x})\,\mathrm dx &= \frac{1}{2s}\left(\frac{1}{(s - a)^2} + \frac{1}{(s + a)^2}\right)\\ &= \frac{(s^2 + a^2)}{s(s + a)^2(s - a)^2}. \end{aligned}\]

13.3 Laplace 変換を求めろ

\[\begin{aligned} (1) \quad f(x) = \begin{cases} x, & 0 \le x < 1,\\ 2 -x, & 1 \le x \lt 2,\\ 0, & 2 \le x. \end{cases}\\ \end{aligned}\]

解：

\[\def\L#1{ \mathscr{L}\left[#1\right] (s)} \begin{aligned} \L{f} &= \int_0^1\!x\mathrm{e}^{-sx}\,\mathrm dx + \int_1^2\!(2-x)\mathrm{e}^{-sx}\,\mathrm dx\\ &= \int_0^1\!x\mathrm{e}^{-sx}\,\mathrm dx - \int_1^0\! t \mathrm{e}^{-s(2 - t)}\,\mathrm dt\\ &= \int_0^1\! (t\mathrm{e}^{-st} + t\mathrm{e}^{-s(2 - t)})\,\mathrm dt\\ &= \mathrm{e}^{-2s} \int_0^1\! t \,\mathrm dt\\ &= \frac{\mathrm{e}^{-2s}}{2}. \end{aligned}\] \[\begin{aligned} (2) \quad f(x) = \begin{cases} \sin x, & 0 \le x \le \pi,\\ 0, & \pi \lt x. \end{cases}\\ \end{aligned}\]

解：公式ができていないので今計算する。

\[\begin{aligned} \int_0^\pi\!\mathrm{e}^{iax}\mathrm{e}^{-sx}\,\mathrm dx &= \int_0^\pi\!\mathrm{e}^{-s(1 + ia)x}\,\mathrm dx\\ &= \left[\frac{\mathrm{e}^{-s(1 + ia)x}}{-s(1 + ia))}\right]_0^\pi\\ &= -\frac{\mathrm{e}^{-s(1 + ia)\pi} - 1}{s(1 + ia)}\\ &= -\frac{(\mathrm{e}^{-s\pi}\mathrm{e}^{-i(sa)\pi} - 1)(1 - ai)}{s(1 + a^2)}\\ &= -\frac{\mathrm{e}^{-s\pi}\cos as\pi + a\mathrm{e}^{-s\pi} \sin as\pi - 1}{s(1 + a^2)}\\ &\quad\quad +i\frac{(a \mathrm{e}^{-s\pi}\cos as\pi - \mathrm{e}^{-s\pi}\sin as\pi + a)}{s(1 + a^2)}\\ \therefore \int_0^\pi\!\cos ax \cdot \mathrm{e}^{-sx}\,\mathrm dx &= -\frac{\mathrm{e}^{-s\pi}\cos as\pi + a\mathrm{e}^{-s\pi} \sin as\pi - 1}{s(1 + a^2)}.\\ \therefore \int_0^\pi\!\sin ax \cdot \mathrm{e}^{-sx}\,\mathrm dx &= \frac{a \mathrm{e}^{-s\pi}\cos as\pi - \mathrm{e}^{-s\pi}\sin as\pi + a}{s(1 + a^2)}.\\ \end{aligned}\]

元の問題に戻る。

\[\def\L#1{ \mathscr{L}\left[#1\right] (s)} \begin{aligned} \L{f} &= \int_0^\pi\!\sin x \cdot \mathrm{e}^{-sx}\,\mathrm dx\\ &= \frac{\mathrm{e}^{-s\pi}\cos s\pi - \mathrm{e}^{-s\pi}\sin s\pi + 1}{2s}. \end{aligned}\]