基数のべき乗の定義や性質を復習する。本稿では集合 $X$ の基数を $\lvert X \rvert$ で表す。

定義

$A, B$ を集合とし、$\mathfrak{a} = \lvert A \rvert$, $\mathfrak{b} = \lvert B \rvert$ とする。 このとき $\mathfrak{a}$ と $\mathfrak{b}$ のべき乗を次により定義する：

\[\mathfrak{a^b} \coloneqq \lvert A^B\rvert.\]

ここで集合 $A^B$ は $B$ から $A$ への写像すべてを要素とする。

性質

基数のべきのもつ性質をいくつか見ていく。

ゼロ乗は常に 1 に等しい

命題：任意の基数 $\mathfrak a$ に対して

\[\mathfrak a^0 = 0.\]

証明：$\mathfrak a = \lvert A \rvert$ を満たす集合 $A$ を一つとる。 また $0 = \lvert \varnothing\rvert.$ 「空集合から任意の集合への写像は一意的に存在する」ルールにより、

\[\lvert A^\varnothing\rvert = 1. \quad\blacksquare\]

べき乗の恒等元は 1 である

命題：任意の基数 $\mathfrak a$ に対して

\[\mathfrak{a}^1 = \mathfrak{a}.\]

証明：$\mathfrak a = \lvert A \rvert$ を満たす集合 $A$ を一つとる。 また $1 = \lvert \lbrace \varnothing \rbrace\rvert.$ 写像 $f\colon \lvert \lbrace \varnothing \rbrace\rvert \longrightarrow A$ すべてからなる集合は、定義域の要素が一意的であるため $A$ と対等である： 写像 $f_a: \lbrace\varnothing\rbrace \longrightarrow A$ を $f_a\colon \varnothing \longmapsto a$ で定義する。 このとき集合 $A$ とこのような写像すべての集合 $F \coloneqq \lbrace f_a \,\mid\, a \in A\rbrace$ との間に全単射写像 $a \longmapsto f_a$ が存在するので、

\[\mathfrak{a}^1 = \lvert A^{\lbrace \varnothing \rbrace} \rvert = \lvert F \rvert = \lvert A \rvert = \mathfrak{a}. \quad\blacksquare\]

指数の和に対する分配律

命題：任意の基数 $\mathfrak{a, b, c}$ に対して：

\[\mathfrak{a^{b+c} = a^b a^c}.\]

証明：集合 $A, B, C$ を次のすべてが成り立つようにとる：

\[\begin{aligned} \mathfrak{a} = \lvert A \rvert,\\ \mathfrak{b} = \lvert B \rvert,\\ \mathfrak{c} = \lvert C \rvert,\\ B \cap C &= \varnothing. \end{aligned}\]

このとき和集合 $B \cup C$ が非交和 $B \sqcup C$ に等しいことに注意する。 すると主張の等式は $A^{B \cup C} \approx A^B \times A^C$ と同値である。 こちらを証明する。

写像の集合 $A^{B \cup C}$ から写像の集合同士の直積 $A^B \times A^C$ への写像 $F$ を次で定義する：

\[(F(f))(b, c) = \begin{cases} (f(b), \varnothing), & f \in A^B,\\ (\varnothing, f(c)), & f \in A^C. \end{cases}\]

この写像 $F$ が全単射であれば主張が正しいことになる。以下それを示す。

$F$ が単射であることを示す。$f_1, f_2 \in A^{B \cup C}$ に対して $F(f_1) = F(f_2)$ を仮定する。このとき $F$ の定義により：

\[\forall b \forall c(b \in B \land c \in C \implies (F(f_1))(b, c) = (F(f_2))(b, c)).\]

この右辺は次の 4 とおりに書けるが、実際は最初と最後の等式しか起こらない：

\[\begin{aligned} (f_1(b), \varnothing) &= (f_2(b), \varnothing)\\ (f_1(b), \varnothing) &= (\varnothing, f_2(c))\\ (\varnothing, f_1(c)) &= (f_2(b), \varnothing)\\ (\varnothing, f_1(c)) &= (\varnothing, f_2(c))\\ \end{aligned}\]

そのいずれの場合においても $f_1 = f_2$ が成り立つ。すなわち

\[\forall f_1 \forall f_2(f_1, f_2 \in B \sqcup C \\ \implies (F(f_1) = F(f_2) \implies (f_1 = f_2) \land (f_1, f_2 \in B \lor f_1, f_2 \in C)))\]

が成り立つので $F$ は単射である。

$F$ が全射であることを示す。写像 $g \in A^B \times A^C$ を一つとる。

\[\begin{aligned} &\forall g\exists g_1\exists g_2(g \in A^B \times A^C \implies g_1 \in A^B \land g_2 \in A^C)\\ &\therefore g_1 \in A^{B \cup C} \land g_2 \in A^{C \cup B}.\\ \end{aligned}\]

ゆえに $f \in A^{B \cup C}$ を $F(f)(b, c) = g(b, c) = (g_1(b), g_2(c))$ とすればこれは $F(f) = g$ であり、したがって $F$ は全射である。

以上により $F$ は全単射写像である。ゆえに主張は正しい。 $\blacksquare$

指数の積に対する分配律

命題：任意の基数 $\mathfrak{a, b, c}$ に対して：

\[\mathfrak{(ab)^c = a^c b^c}.\]

証明：集合 $A, B, C$ を次のすべてが成り立つようにとる：

\[\begin{aligned} \mathfrak{a} = \lvert A \rvert,\\ \mathfrak{b} = \lvert B \rvert,\\ \mathfrak{c} = \lvert C \rvert.\\ \end{aligned}\]

集合の対等性 $(A \times B)^C \approx A^C \times B^C$ を示せばよい。 そのため、この左辺から右辺への全単射写像 $F$ を一つ構成できることを以下で示す。

写像 $F\colon A^C \times B^C \longrightarrow (A \times B)^C$ を次で定義する：

\[(F(f, g))(c) = (f(c), g(c)),\quad f \in A^C, g \in B^C, c \in C.\]

$F$ が単射であることを示す。$h_1, h_2 \in (A \times B)^C$ に対して $F(h_1) = F(h_2)$ を仮定する。 また $h_1(c) = (f_1(c), g_1(c))$ のようにおく。このとき $F$ の定義から：

\[\begin{aligned} &\phantom{\therefore}(F(h_1))(c) = (F(f_1, g_1))(c) = (f_1(c), g_1(c)).\\ &\phantom{\therefore}(F(h_2))(c) = (F(f_2, g_2))(c) = (f_2(c), g_2(c)).\\ &\therefore f_1(c) = f_2(c) \land g_1(c) = g_2(c).\\ &\therefore f_1 = f_2 \land g_1 = g_2.\\ &\therefore h_1 = h_2. \end{aligned}\]

$F(h_1) = F(h_2) \implies h_1 = h_2$ が示された。よって $F$ は単射である。

$F$ が全射であることを示す。$h \in (A \times B)^C$ を一つとる。

\[\exists f \exists g(f \in A^B \land g \in A^C \land h(c) = (f(c), g(c))).\]

写像 $F, f, g$ の定義から $(F(f, g))(c) = h(c)$ となるので $F$ は全射である。

以上により $F$ は全単射写像である。ゆえに主張は正しい。 $\blacksquare$

指数の積は逐次べき乗に等しい

命題：任意の基数 $\mathfrak{a, b, c}$ に対して：

\[\mathfrak{a^{bc} = (a^b)^c}\]

証明：集合 $A, B, C$ を次のすべてが成り立つようにとる：

\[\begin{aligned} \mathfrak{a} = \lvert A \rvert,\\ \mathfrak{b} = \lvert B \rvert,\\ \mathfrak{c} = \lvert C \rvert.\\ \end{aligned}\]

すると結論は $A^{B \times C} \approx (A^B)^C$ と同値になる。こちらを証明する。

写像の集合 $(A^B)^C$ から写像の集合 $A^{B \times C}$ への写像 $F$ を次で定義する：

\[F(f)(b, c) = (f(b))(c), \quad b \in B, c \in C.\]

すると $F$ は全単射となり、その結果主張が真であることを証明する。

  • コメント：ここがわかりにくい。

$F(f_1) = F(f_2)$ を仮定する。すると $F$ の定義により

\[\begin{aligned} \forall b \forall c(b \in B, c \in C &\implies (f_1(b))(c) = (f_2(b))(c)).\\ &\therefore f_1(b) = f_2(b).\\ &\therefore f_1 = f_2. \end{aligned}\]

ゆえに $F$ は単射であることが示された。

次に $F$ が全射であることを示す。任意の写像 $g \in A^{B \times C}$ をとる。 そして写像 $f$ を $(f(b))(c) = g(b, c)$ により定義する。

写像 $F$ および $f$ の性質から

\[F(f)(b, c) = (f(b))(c) = g(b, c).\]

したがって $F$ は全射である。

以上より $F$ が全単射であることが示されたので、 $A^{B \times C} \approx (A^B)^C.$ ゆえに主張は真である。 $\blacksquare$

参考資料