証明の練習。

定理： $X$ をコンパクト距離空間、$Y$ を距離空間とする。 任意の連続写像 $f\colon X \longrightarrow Y$ は一様連続である。

検討：

証明の準備のために記号を補う。

  • $X, Y$ の距離をそれぞれ $d_X, d_Y$ とする。
  • $X$ の位相を $\mathcal O_X$ とする。
  • $X, Y$ それぞれにおける開近傍を $B_X, B_Y$ で表す。

定理の仮定や結論を論理式で表す。

$X$ がコンパクトであるということは次のように書ける：

\[\forall A \subset X \forall \{U_\lambda\}_{\lambda \in \Lambda} \subset \mathcal O \\ \left( A \subset \bigcup_{\lambda \in \Lambda}U_\lambda \implies \exists r \in \N A \subset \bigcup_{i \in r}U_i \right).\]

論理式 $P_1(A,\lbrace U_\lambda\rbrace_{\lambda \in \Lambda})$ を上の論理式の一部を使うことで次で定義する：

\[\forall A \subset X \forall \{U_\lambda\}_{\lambda \in \Lambda} \subset \mathcal O P_1(A,\lbrace U_\lambda\rbrace_{\lambda \in \Lambda}).\]

写像 $f\colon X \longrightarrow Y$ が連続であることは次のように表せる。

\[\forall x \in X \forall \varepsilon > 0\\ \exists \delta > 0 ( f(B_X(x, \delta) \subset B_Y(f(x), \varepsilon) ).\]

論理式 $P_2(x, \varepsilon)$ を次のように定義する：

\[\forall x \in X \forall \varepsilon > 0 P_2(x, \varepsilon)\]

一様連続性は（上の論理式をコピー＆ペーストして項の順序を変える）：

\[\forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0 \forall x \in X( f(B_X(x, \delta)) \subset B_Y(f(x), \varepsilon) ).\]

論理式 $Q(\varepsilon, \delta)$ を次で定義する：

\[\forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0 Q(\varepsilon, \delta).\]

以上で証明の戦略が決まった：

Givens Goal
$\forall A \forall \lbrace U_\lambda\rbrace_{\lambda \in \Lambda} P_1(A, \lbrace U_\lambda\rbrace_{\lambda \in \Lambda})$ $\forall \varepsilon \exists \delta Q(\delta)$
$\forall x \forall \varepsilon P_2(x, \varepsilon)$  

証明の最終形：

  • Givens の二番目より $\forall a \in X \forall \varepsilon > 0$ に対する $\delta_a > 0$ が決まる。
  • $B_X(a, \delta_a/2) \in \mathcal O_X$ を考える。$a$ が $X$ 内のすべてを動いて $X$ の開被覆 $\bigcup_{a \in X} B_X(a, \delta_a/2)$ が得られる。
  • Givens の一番目より $a_1, \dotsc, a_r \in X$ の開近傍群で $X$ は被覆されているといえる。
  • それらの開近傍の半径のうち最小のものを $\delta$ とすれば Goal が真である：
    • $\forall x, x^{\prime} \in X$ に対して、これらの点の距離が $\delta$ で押さえられるならば、 これらの像の距離は $\varepsilon$ で収まることを示す。
    • $\exists \in r (x \in B_X(a_i, \delta_{a_i}/2)).$
    • $d_X(x, x^{\prime}) < \delta \land \delta < \delta_{a_i}/2$ ゆえ $x^\prime \in B_X(a_i, \delta_{a_i}/2).$
    • $d_Y(f(x), f(x^{\prime}))$ を三角不等式で評価する。 $f$ は $P_2(a_i, \varepsilon)$ だから
      • $d_Y(f(a_i), f(x)) < \varepsilon.$
      • $d_Y(f(a_i), f(x^{\prime})) < \varepsilon.$
    • したがって $\exists \delta Q(\delta)$ が真である。
  • したがって写像 $f$ は一様連続である。

三角不等式まわりで $\varepsilon$ の調整の余地があることがわかる。 これらを加えてちょうど $\varepsilon$ にしたいので、最初の任意のものを半分にしよう。

証明：

任意の点 $a \in X$ と任意の正数 $\varepsilon > 0$ をとる。

このとき写像 $f\colon X \longrightarrow Y$ が連続であることから $\delta_a > 0$ が点 $a$ によって定まり、次の関係を満たす：

\[\tag*{$\spadesuit1$} f(B_X(a, \delta_a)) \subset B_Y\!\left(f(a), \frac{\varepsilon}{2}\right).\]

$X$ の開被覆 $X^\prime \coloneqq \bigcup_{a \in X}B_X(a, \delta_a/2) \supset X$ を考える。 $X$ のコンパクト性からこの和集合のメンバーとなる開近傍有限個

\[\def\B#1{ B_X\!\left(a_{#1}, \frac{\delta_{a_{#1}}}{2}\right) } \B{1}, \B{2}, \dotsc, \B{r}\]

により被覆されている：

\[X \subset \bigcup_{i = 1}^r B_X\!\left(a_i, \frac{\delta_a}{2}\right).\]

この $r$ 個の開近傍の半径の最小値を $\delta$ とおくと

\[\tag*{$\spadesuit2$} \forall x \in X(f(B_X(x, \delta)) \subset B_Y(f(x), \varepsilon))\]

であることを以下示す。

任意の $x^{\prime} \in B_X(x, \delta)$ に対して $d_Y(f(x), f(x^{\prime})) \lt \varepsilon$ を示す。 $x$ を含むメンバー開近傍を $B_X(a_i, \delta_{a_i}/2)$ とすると、 $\delta \le \delta_{a_i}/2$ だから $x^{\prime}$ も同近傍に含まれることに注意して：

\[\begin{aligned} d_Y(f(x), f(x^{\prime})) &\le d_Y(f(x), f(a_i)) + d_Y(f(a_i), f(x^{\prime}))\\ &\le \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2}\\ &= \varepsilon. \end{aligned}\]

ここで二番目の不等号は $\spadesuit1$ から成り立つ。 これは $f(x^{\prime}) \in B_Y(f(x), \varepsilon)$ を意味する。 $x^{\prime} \in B_X(x, \delta)$ をこの開近傍全体に動かすことで $\spadesuit2$ が示される。

以上により $f$ は一様連続である。 $\blacksquare$

ここまで書けば忘れまい。