Kummer 拡大もやっておこう。

Kummer 拡大

  • $\zeta_n$ を $1$ の原始 $n$ 乗根とする。
  • $Z_n \coloneqq \Z/n\Z$ とする。

定義： $K$ を $\zeta_m$ を含む体とする。

Abel 拡大 $L/K$ が $m$-Kummer 拡大であるとは、任意の $\sigma \in \operatorname{Gal}(L/K)$ に対して $\sigma^m = 1$ が成り立つものをいう。

定義（指標群）：$G$ を位数が $m$ の Abel 群とする。このとき次の準同型写像の集合

\[X(G) \coloneqq \operatorname{Hom}(G, Z_n)\]

を $G$ の指標群という。

補題（指標群は元の群と同型）：$X(G) \cong G.$

検討：$G$ によって場合分けをする。 まず $G$ が有限巡回群であるならば成り立つことを示し、 そうでない場合は Abel 群を巡回群の直積に分解して考える。よくある手法だ。

証明：$\text{(i)}$ $G$ が位数 $m$ の巡回群である場合を示す。 $G \coloneqq \langle g \rangle$ とおく。このとき指標 $\chi$ はある整数 $k$ により $g \mapsto k$ で与えられる。この対応は $k \bmod m$ で定まるので

\[X(G) \cong Z_m \cong \langle g \rangle = G. \quad\Box\]

$\text{(ii)}$ $G$ が一般の有限 Abel 群である場合、有限生成 Abel 群の基本定理から $G_1, G_2$ を有限 Abel 群とすると

\[X(G_1) \times X(G_2) \longrightarrow X(G_1 \times G_2)\]

が同型写像であるから成り立つ。 $\blacksquare$

定義（零化部分群）：$G$ の部分群 $H$ に対し、次で定義される $H^\perp$ を $H$ の零化部分群という。

\[H^\perp \coloneqq \{\chi \in X(G)\,|\,\forall a \in H(\chi(a) = 0)\}.\]

$X(G)$ の部分群 $Y$ に対しては $Y^\perp$ を次で定義する：

\[Y^\perp \coloneqq \{g \in G\,|\,\forall \chi \in Y(\chi(g) = 0)\}.\]

補題（指標群との一対一対応の存在）： $G$ の部分群と指標群 $X(G)$ の部分群には次のような互いに逆写像となる一対一対応が存在する：

\[\def\longmapsfrom{ \longleftarrow\!\shortmid } \def\arraystretch{1.5} \begin{array}{c} \{\text{subgroups of $G$}\} & \longleftrightarrow & \{\text{subgroups of $X(G)$}\}\\ H & \longmapsto & H^\perp\\ Y^\perp & \longmapsfrom & Y \end{array}\]

検討：主張が Galois 対応に似ている。

証明：$H \subset G$ を部分群、$Y \subset X(G)$ を $X(G)$ の部分群とすると $H^\perp{}^\perp = H$ および $Y = Y^\perp{}^\perp$ が成り立つことを示す。

零化部分群の定義から $H^\perp$ は $G/H$ の指標を与える。

$G/H$ の指標は $G$ の指標であって $H$ 上 $0$ になるものということだから $H^\perp = X(G/H).$ したがって $G/H \cong X(G/H)$ から

\[\lvert H \rvert = [G : H^\perp].\]

$H^\perp$ から同じ推論をすることで

\[\lvert H^\perp{}^\perp \rvert = [G : H^\perp].\]

したがって $\lvert H\rvert = \lvert H^\perp{}^\perp\rvert.$

定義から $H \subset H^\perp{}^\perp.$ したがって $H^\perp{}^\perp = H$ が示された。$\Box$

上記議論を $X(G)$ から始めることで $Y = Y^\perp{}^\perp$ が示される。 $\blacksquare$

ここから先は $K$ を $\zeta_m \in K$ なる体とし、 $L/K$ を Abel 拡大、$G \coloneqq \operatorname{Gal}(L/K)$ とする。 乗法群 $K^\times$ に対し

\[(L^\times)^m \coloneqq \{a^m\,|\,a \in L^\times\}\]

とおく。

$L/K$ が $m$-Kummer 拡大ならば $K$ には原始 $m$ 乗根すべてが含まれるので

\[X(G) = \operatorname{Hom}(G, \Z_{\lvert G\rvert}) \cong \operatorname{Hom}(G, Z_m) \cong \operatorname{Hom}(G, K^\times).\]

$X(G)$ を $\operatorname{Hom}(G, K^\times)$ と同一視することで乗法群として扱う。

定理（有限次 $m$-Kummer 拡大の Galois 群）： $L/K$ を有限次 $m$-Kummer 拡大とし、

\[\mathcal L \coloneqq (L^\times)^m \cap K^\times\]

とおく。このとき $G \coloneqq \operatorname{Gal}(L/K)$ に対して次の同型が成り立つ：

\[G \cong X(G) \cong \mathcal L/(K^\times)^m.\]

検討：まず $a \in \mathcal L$ を一つ取って、これに関連する $\chi_a \in X(G)$ を構成する。

次に写像 $\varphi\colon a \longmapsto \chi_a$ を定義して、群準同型写像であることを示す。

最後に $\varphi$ の核と像を求めて同型定理を適用すると主張の群同型が得られることを示す。

証明：$a \in \mathcal L$ を一つとる。$\mathcal L$ の取り方から $\alpha^m = a$ なる $\alpha \in L^\times$ が存在する。 $X^m - a = 0$ の根全体は $\lbrace \alpha\zeta^i\,\mid\,i = 0, \dotsc, m - 1\rbrace$ に等しい。

$\sigma \in G$ に対し $\sigma(a) = \alpha\zeta^s\;(0 \le s \le m - 1)$ なる $s$ を取る。

\[\begin{aligned} \sigma(\alpha\zeta^i) &= \sigma(\alpha)\zeta^i & \because \zeta^i \in K\\ &= \alpha\zeta^s\zeta^i\\ &= (\alpha\zeta^i)\zeta^s \end{aligned}\]

であるから $s$ は $X^m - a = 0$ の根の取り方によらず定まる。 これを用いて $\chi_a$ を次のように定義する：

\[\chi_a(\sigma) \coloneqq \zeta^s.\]

これが指標になることを示す。そのため $\tau \in G$ に対し $\tau(\alpha) = \alpha\zeta^t$ とすると

\[\begin{aligned} &\sigma\tau(\alpha) = \sigma(\alpha\zeta^t) = \sigma(\alpha)\zeta^t = \alpha\zeta^{t + s}.\\ \therefore\;& \chi_a(\sigma\tau) = \zeta^{t + s} = \chi_a(\sigma)\chi_a(\tau).\\ \therefore\;& \chi_a \in X(G). \end{aligned}\]

次に、この指標を用いて次の写像 $\varphi$ を考える：

\[\begin{array}{c} \varphi\colon& \mathcal L & \longrightarrow & X(G)\\ &a & \longmapsto & \chi_a \end{array}\]

写像 $\varphi$ が群の準同型写像であることを示す。 $\mathcal L$ の定義から次が成り立つ：

\[\def\L{\mathcal L} \begin{aligned} \forall a \in \L \exists \alpha \in L^\times(a = \alpha^m).\\ \forall b \in \L \exists \beta \in L^\times(b = \beta^m). \end{aligned}\]

このとき $ab = (\alpha\beta)^m.$ 証明の冒頭で述べたように次のように $\sigma \in G$ および数 $s, t$ をとれる：

\[\begin{aligned} \exists s(\sigma(\alpha) = \alpha\zeta^s).\\ \exists t(\sigma(\beta) = \beta\zeta^t).\\ \end{aligned}\]

このとき $\sigma(\alpha\beta) = \alpha\beta\zeta^{s + t}$ であり $\xi_{ab}$ について次が成り立つ：

\[\begin{aligned} \chi_{ab}(\sigma) &= \zeta^{s + t} = \chi_a(\sigma)\chi_b(\sigma).\\ \therefore \chi_{ab} &= \chi_a\chi_b. \end{aligned}\]

したがって $\varphi$ が群の準同型写像であることが示された。 $\Box$

最後に $\varphi$ の核と像を求めて主張の群同型が成り立つことを示す。

$\ker\varphi = (K^\times)^m$ を示す。$a \in \mathcal L$ に対して $a = \alpha^m$ なる $\alpha \in L^\times$ が存在する。 $\varphi(a) = \chi_a = \operatorname{id} _ {\mathcal L}$ ならば任意の $\sigma \in G$ に対して $\sigma(\alpha) = \alpha$ となる。 $\alpha \in K^\times$ から $a \in (K^\times)^m.$ したがって $\ker\varphi = (K^\times)^m$ が示された。

$\varphi$ は全射であることを示す。$\chi \in X(G)$ をとる。 Hilbert の定理 90 の系から

\[\forall \sigma \in G \exists \alpha \in L^\times (\chi(\sigma) = \sigma(\alpha)/\alpha).\]

このとき $\sigma$ について：

\[1 = \chi(\sigma^m) = \chi(\sigma)^m = \sigma(\alpha^m)/\alpha^m.\]

したがって $\sigma(\alpha^m) = \alpha^m$ だから $\alpha^m \in K^\times \cap (L^\times)^m = \mathcal L.$ $a \coloneqq \alpha^m$ とおけば：

\[\begin{aligned} \chi_a(\sigma) &= \sigma(\alpha)/\alpha = \chi(\sigma).\\ \therefore \chi_a &= \chi. \end{aligned}\]

$\sigma \in G$ は任意であるから $\varphi$ は全射であることが示された。

$\varphi\colon \mathcal L \longmapsto X(G)$ に群の第一同型定理を適用すると

\[X(G) = \operatorname{im}{\varphi} \cong \mathcal L/\ker\varphi = L/(K^\times)^m.\]

したがって主張の群同型が成り立つことが示された。 $\blacksquare$

定理（Kummer 拡大の生成元はべき根）：$L/K$ を代数的拡大とし、$K$ の標数が $p \ne 0$ のときには $(m, p) = 1$ を仮定する。$\zeta_m \in K$ とする。このとき次は同値である：

$\text{(i)}$ $L/K$ が有限次 $m$-Kummer 拡大である

$\text{(ii)}$ $L$ は $(X^m - a_1)\dotsm(X^m - a_r),\;(a_i \in K^\times)$ の形の多項式の最小分解体である。すなわち $L = K\left(\sqrt[m]{a_1}, \dotsc, \sqrt[m]{a_r}\right).$

証明：$\text{(i)} \implies \text{(ii)}:$ $G \coloneqq \operatorname{Gal}(L/K)$ とおく。 有限次 $m$-Kummer 拡大の Galois 群定理から

\[X(G) = \{\chi_a\,|\,a \in G\}.\]

そこで $X(G) = \langle \chi_{a_1}, \dotsc, \chi_{a_r} \rangle$ と生成元をおく。 各 $a_i \in K^\times$ に対して $\alpha_i^m = a_i$ なる $\alpha_i \in (L^\times)^m$ が存在する。

$f(X) \coloneqq (X^m - a_1)\dotsm(X^m - a_r)$ をその $K$ 上の最小分解体が $L$ となるような最小多項式であるとする。 このとき次が成り立つ：

\[M \coloneqq K\left(\sqrt[m]{a_1}, \dotsc, \sqrt[m]{a_r}\right) = K(\alpha_1, \dotsc, \alpha_r) \subset L.\]

$M$ に Galois 対応する $G$ の部分群を $H$ とする。 $\sigma \in H$ に対し $\sigma(\alpha_i) = \alpha_i$ だから各 $i = 1, \dotsc, r$ に対して：

\[\chi_{a_i}(\sigma) = \frac{\sigma(\alpha_i)}{\alpha_i} = 1.\]

$\langle \chi_{a_i} \rangle = X(G) = \operatorname{Hom}(G, K^\times)$ から

\[\forall \chi \in X(G)(\chi(\sigma) = 1).\]

したがって ${\sigma = \operatorname{id} _ {M}.}$

$\sigma$ は任意であったから $H = \lbrace \operatorname{id} _ {M}\rbrace.$ したがって Galois の基本定理により ${K\left(\sqrt[m]{a_1}, \dotsc, \sqrt[m]{a_r}\right) = M = L}$ が示された。 $\Box$

$\text{(ii)} \implies \text{(i)}:$ 仮定から $\text{(ii)}$ の多項式は分離的であり $L/K$ は Galois 拡大である。 $\sigma \in G \coloneqq \operatorname{Gal}(L/K)$ を一つとる。

$i = 1, \dotsc, r$ に対して数 $s_i$ を次で決める：

\[\sigma(\sqrt[m]{a_i}) = \zeta^{s_i}\sqrt[m]{a_i}.\]

ただし $\bmod m$ の自由度があるので、次のような写像 $\varphi$ を定義する：

\[\def\arraystretch{1.4} \begin{array}{c} \varphi\colon & G & \longrightarrow & Z_m \times \dotsm \times Z_m\\ & \sigma & \longmapsto & (s_1, \dotsc, s_r) \end{array}\]

すると $\varphi$ は準同型写像であることが有限次 $m$-Kummer 拡大の Galois 群定理の証明のようにして示される。

$\ker\varphi = \lbrace \operatorname{id} _ {L}\rbrace$ であるので $\varphi$ は単射。すなわち：

\[G \hookrightarrow{\phantom{aa}} Z_m \times \dotsm \times Z_m.\]

したがって $G$ は Abel 群であることがわかり、 $\forall \sigma \in G(\sigma^m = \operatorname{id}_L).$ したがって $L/K$ が $m$-Kummer 拡大であることが示された。 $\blacksquare$

定理：$K$ を $\zeta_m \in K$ なる体とする。 $K^\times$ の部分群であって $(K^\times)^m$ を含むようなものを $\mathcal L$ とおく。

$\Phi$ を $K$ 上の $m$-Kummer 拡大すべての集合とする。

$\Gamma$ を $K^\times/(K^\times)^m$ の部分であるような $\mathcal L/(K^\times)^m$ 有限部分群すべての集合とする。

このとき $\Phi$ と $\Gamma$ には次の一対一対応がある：

\[\def\longmapsfrom{ \longleftarrow\!\shortmid } \def\arraystretch{1.5} \begin{array}{c} \Phi & \longleftrightarrow & \Gamma\\ L & \longmapsto & \{(L^\times)^m \cap K^\times\}/(K^\times)^m\\ K\left(\sqrt[m]{a} \mid \forall a \in \mathcal L\right) & \longmapsfrom & \mathcal L/(K^\times)^m \end{array}\]

この対応は $L/K$ に $X(\operatorname{Gal}(L/K))$ を対応させる写像である。

証明：$L \in \Phi$ とする。 Kummer 拡大の生成元はべき根定理により

\[\tag*{$\spadesuit$} L = K\left(\sqrt[m]{a_1}, \dotsc, \sqrt[m]{a_r}\right),\;a_i \in K^\times\]

の形である。

\[\begin{aligned} \mathcal L &\coloneqq (L^\times)^m \cap K^\times,\\ L^{\prime} &\coloneqq K\left(\sqrt[m]{a} \mid \forall a \in \mathcal L\right) \end{aligned}\]

とおく。

$L = L^{\prime}$ を示す。 定義から $L \supset L^{\prime}$ が成り立つ。 また、$a_i \in K^\times \subset \mathcal L$ および $L^{\prime}$ の定義から $\sqrt[m]{a_i} \in L^{\prime}.$ ゆえに $L \subset L^{\prime}.$ したがって $L = L^{\prime}$ が示された。

逆に $\mathcal L$ に対し、それに対応する体 $L = K\left(\sqrt[m]{a} \mid \forall a \in \mathcal L \right)$ を考える。

$\mathcal L/(K^\times)^m$ の生成系を $[a_1], \dotsc, [a_r]$ とし、 それらの $\mathcal L$ における代表元を $a_1, \dotsc, a_r$ とする。このとき $\spadesuit$ が成り立ち、$L/K$ は有限次 $m$-Kummer 拡大である。

\[\mathcal L^{\prime} \coloneqq (L^\times)^m \cap K^\times\]

とおくと $\mathcal L = \mathcal L^{\prime}$ が成り立つことを以下に示す。

定義から $\mathcal L \supset \mathcal L^{\prime}.$

また $X(\operatorname{Gal}(L/K)) \cong L^{\prime}/(K^\times)^m.$ 部分群 $\langle \xi_a \mid a \in \mathcal L\rangle \subset X(\operatorname{Gal}(L/K))$ を $Y$ とおくと、

\[\forall \sigma \in Y^\perp \forall a \in Y\left( 1 = \xi_a(\sigma) = \frac{\sigma(\sqrt[m]{a})}{\sqrt[m]{a}}\right)\]

だから $\sigma$ は $L$ 上恒等写像。すなわち $\sigma = \operatorname{id} _ {L}$ となり $Y^\perp = \lbrace \operatorname{id} _ {L}\rbrace.$ 指標群との一対一対応の存在の補題から、

\[Y = X(\operatorname{Gal}(L/K)).\]

したがって Galois の基本定理から $\mathcal L = \mathcal L^{\prime}$ が示された。

したがって主張の対応は一対一対応であることが示された。 $\Box$

この対応が $L/K$ に $X(\operatorname{Gal}(L/K))$ を対応させる写像であることは有限次 $m$-Kummer 拡大の Galois 群定理から成り立つ。 $\blacksquare$

参考

  • 桂利行著『代数学 III 体とガロア理論』
  • 雪江明彦著『環と体とガロア理論』