第 7 章 多様体上の曲線の長さ（後編）¶
7.5 測地流（展開）¶
- 測地流
測地線の方程式は接束上のベクトル場として表わされる。
測地線 \(c(t)\) は次を満たす： \({\displaystyle q\left(\diff{c}{t}\right) = const.}\)
\({a > 0}\) に対して \({q\inv(a)}\) はコンパクトであり、さっきのベクトル場はフローを生成するので、次のフローを定義できる： \(\fn{F_t}{q\inv(a)}q\inv(a);\quad \fn{F_t}{TM}TM.\)
定理 7.5.1: ホップ・リノウの定理
コンパクト連結多様体の任意の二点について、測地線が存在するという主張か。ここで示すのは \({\forall x, y \in M, \exists \fn{c}{[0, 1]}M \quad \text{s.t. } c(0) = x, c(1) = y, d(x, y) = L(c).}\)
任意の二点が一致するときはどうだ。点（定値写像）も測地線の一種ということでよい？
証明では \(M\) の任意の点が指数写像 \(\fn{E_x}{T_xM}M\) の像となることを示す。
そのために \({\forall k \in NN}\) に対して \(\fn{E_x}{T_xM}M\) が \(\set{y \in M \sth d(x, y) < k\eps}\) 上への全射となることを示す。
帰納法で \({k = 2}\) のときと、\(k\) のときに成り立てば \({k + 1}\) のときに成り立つことを示す。
\(T_xM\) の半径 \({2\eps}\) の閉球体が \(E_x\) により \(M\) に単射されるように \({\eps \gt 0}\) をとる。
\({E_x|\set{v \in T_xM \sth g(v, v) \le 4\eps^2} \longto M}\) が単射？
\(k\) のときに成り立つと仮定する。
指数写像 \(\fn{E_y}{T_yM}M\) によるボール \({S_\eps = \set{v \in T_yM \sth g(v, v) = \eps^2}}\) および像 \({E_y(S_\eps)}\) を考える。
コンパクト性により、\({\exists z \in S_y(v) \in E_y(S_\eps) \quad \text{s.t. }}`次のような写像 :math:`{M \longto \RR}\) がある：
\({z \longmapsto d(x, y)}\) の制限 \({|E_y(S_\eps)}\) が最小値 \(m\) をとる。
\(x, y\) を結ぶ曲線は \({E_y(S_\eps)}\) の点を通過するから \({m \lt k\eps.}\)
\({\exists w \in M\quad\text{s.t. } z = E_y(v) = E_x(w), g(w, w)^2 = d(x, z)^2, d(z, y) = \eps.}\)
ここで次の二つのベクトルが線形独立であるとすると、\({\exists z' \in E_y(S_\eps)\quad\text{s.t. } z' \ne z, d(x, z') < d(x, z).}\) これは \(z\) のとり方に矛盾する。したがってこの二つの測地線は互いに反対を向いている。
\[\left.\diff{E_x(tw)}{t}\right|_{t = 1} \in T_zM,\ \left.\diff{E_y(tv)}{t}\right|_{t = 1} \in T_zM.\]ゆえに \({E_x(\dfrac{m + \eps}{m}) = y.}\) これで \({k + 1}\) のときも成り立っていることが示された。
（最短測地線）コンパクト連結リーマン多様体の任意の二点に対して、
それらを結ぶ最小の長さの曲線が存在して、
それは測地線で表される。
リーマン多様体が距離空間的に完備であれば、
それらを結ぶ最小の長さの曲線が存在し、
\(E_x\) が全射となる。
例 7.5.2: 球面にユークリッド計量から決まるリーマン計量
\({T_1 S^2}\) を \(TS^2\) のうち長さが 1 のベクトルの全体とする。これは \(SO(3)\) と同一視できる。前にも書かれている。
軌道は大円の接ベクトルとなる。
すべての軌道は閉である。
測地流は \({T_1 S^2}\) 上のフローとなっている。
\({(\bm v_1, \bm v_2, \bm v_3) \in SO(3)}\) に対して \({\bm v_1 \in S^2}\) における接ベクトル \(\bm v_2\) を対応させるとフロー \(\fn{F_t}{T_1 S^2}T_1 S^2\) は計算できて次のようになる：
\begin{align*} F_t((\bm v_1, \bm v_2, \bm v_3)) &= \begin{pmatrix} \bm v_1 \cos t + \bm v_2 \sin t & - \bm v_1 \sin t + \bm v_2 \cos t & \bm v3 \end{pmatrix} \\ &= (\bm v_1, \bm v_2, \bm v_3) \begin{pmatrix} \cos t & -\sin t & 0\\ \sin t & \cos t & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{align*}
例 7.5.3: \({T^2 = \RR^2/\ZZ^2}\) に \(\RR^2\) のユークリッド計量から誘導されるリーマン計量
\({T_1T^2}\) を \(TT^2\) のうち長さが 1 のベクトルの全体とする。
測地流は \({T_1T^2}\) 上のフローであり次のように書ける： \({F_t((x_1, x_2), (v_1, v_2)) = ((x_1 + tv_1, x_2 + tv_2), (v_1, v_2))}\)
測地流の軌道は
閉軌道 if \({v_2/v_1 \in \QQ \cup \set{\infty}}\)
\({(\RR/\ZZ)^2 \times \set{(v_1, v_2)}}\) において稠密な軌道 if \({v_2/v_1 \in \RR\setminus\QQ}\)
例 7.5.4: トーラスの測地流の振る舞い
フロー上では \({q(x)^2 = v_1^2(2 + \cos x_2)^2 + v_2^2}\) が不変量であるので、この値が 1 である軌道の全体を考える。
\({\cos \theta = v_1^2(2 + \cos x_2)^2,\quad \sin\theta = v_2}\) と変数変換すると次の常微分方程式を得る：
\[\begin{split}\begin{align*} \diff{\theta}{t} &= \frac{\sin x_2}{2 + \cos x_2},\\ \diff{x_2}{t} &= \sin\theta \end{align*}\end{split}\]さらに \({f(x_2, \theta) = (2 + \cos x_2)\cos\theta}\) とおくと常微分方程式 \({\displaystyle \diff{f}{t} = 0}\) が得られる。軌道は \(f\) の等位線上にある（本書図 7.5 参照）。
7.6 等長変換群（展開）¶
リーマン計量を持つ多様体上で距離を不変に保つ等長変換を考えると、多様体の性質がよくわかることがある。
以下、等長写像と等長変換がごっちゃになっているところがある。
定義 7.6.1: 等長変換
二つのリーマン多様体 \({(M, g_M),\ (N, g_N)}\) に対して次のような微分同相写像 \(\fn{F}{M}N\) が存在する： \({F^* g_N = g_M.}\)
ここで \({(F^* g_N)(v_1, v_2) \coloneqq g_N(F_* v_1, F_* v_2)}\) とする。
これは \(M\) 上のリーマン計量となる。
\({(M, g)}\) から自身への等長写像の全体 \(\operatorname{Isom}(M)\) は群となる。
これは高々 \({\displaystyle \frac{n(n + 1)}{2}}\) 次元多様体である。
\(T_xM\) に正規直交基底を定義する。二つ定義すると、それらは \(O(n)\) で写り合う。
点 \(x\) のある座標近傍 \({(U, \varphi)}\) で \({T_yM\ (y \in U)}\) の正規直交基底の全体は多様体 \({U \times O(n)}\) でパラメーター付けられる。
以上を各点 \({x \in M}\) で考える。すると \(T_xM\) の正規直交基底全体は \({U \times O(n)}\) の座標近傍により \({\displaystyle \frac{n(n + 1)}{2}}\) 次元多様体となる。
これを記号 \(\operatorname{Fr}(M)\) で \({T_xM\ (x \in M)}\) で表す。接正規直交 n 枠束 という。
\(\operatorname{Isom}(M)\) は \(\operatorname{Fr}(M)\) の閉部分集合である。
自然な射影 \(\fn{p}{\operatorname{Fr}M}M\) について \(p\inv(U)\) は \({U \times O(n)}\) と微分同相となる。ファイバー束を構造として持つとみなせる。
- マイヤーズ・スティンロッドの定理
ここよくわからない。
点 \({x_0 \in M}\) とその \({T_{x_0}M}\) 上の正規直交基底 \({E_0 = (e_1, \dotsc, e_n)}\) を固定する。
等長変換 \({\fn{F}{M}M,\ F_*E_0 = (F_*e_0, \dotsc, F_*e_n) \in \operatorname{Fr}M.}\)
点 \({y \in M,}\) 二点を結ぶ測地線 \({E_{x_0}(tv)\ (v \in T_{x_0}M, E_{x_0}(v) = y}\) をとる。
\({F(E_{x_0}(tv)) = E_{F(x_0)}(tF_*v)}\) より \({F(y) = E_{F(x_0)}(F_*v)}\) となり、 \(F\) は \({F_*E_0}\) で定まる。
したがって \(\operatorname{Isom}(M)\) は \(\operatorname{Fr}M\) に埋め込まれる。
例 7.6.2: 単位球面の等長変換群
\({O(n + 1)}\)
\({\displaystyle \frac{n(n + 1)}{2}}\) 次元多様体である。
\(n\) 次元ユークリッド空間の等長変換群は直交群と平行移動群との 半直積 \({O(n) \ltimes \RR^n}\) として表され、\({\displaystyle \frac{n(n + 1)}{2}}\) 次元多様体である。
球面の直積 \({S^m \times S^n\ (m \ne n)}\) のリーマン計量をそれぞれの計量の直積とする。このとき \({\operatorname{Isom}(S^m \times S^n) = O(m + 1) \times O(n + 1).}\)
コンパクト二次元連結多様体 \(M\) とそのリーマン計量 \(g\) について
各 \({x \in M}\) に対して長さが 1 の接ベクトル \({v \in T_xM}\) をとると、次のような近傍 \({U_v \subset M}\) が存在する：
\({v_1 \in T_{x_1}M,\ v_2 \in T_{x_2}M}\) に対して等長変換 \({\fn{F_{v_1 v_2}}{U_{v_2}}U_{v_1}}\) が存在して \({(F_{v_1 v_2})_* v_2 = v_1}\) となる。
\(g\) から来るガウス曲率が一定になるだとか、 \(g\) は局所的に対称性が高いだとかに触れている。
コンパクト二次元連結多様体は次の三つしかない：
\({S^2,\ \RR P^2}\)
\({\RR^2/\ZZ^2,\ \RR^2/G\ (G \cong \ZZ/2\ZZ \ltimes \ZZ^2):}\) クラインボトル
\({D^2/GP,}\) ここで \(G\) は ポアンカレ円板 の等長変換群の部分群とする
与えられたリーマン計量を変形して、もっとよいリーマン計量を得るという問題がある。
7.7 リーマン計量の存在¶
定理 7.7.1: \(n\) 次元コンパクト多様体 \(M\) 上にはリーマン計量が存在する
証明方針は（パラコンパクトな）多様体では 1 の分割が構成できることを利用して、正値二次形式 \(\fn{q}{M}\RR\) を構成することが本質的だ。
有限開被覆 \({\set{(U_i, \varphi_i)}_{i = 1, \dotsc, k}}\) をとり、さらにいつものように次の包含関係を満たす開被覆 \(\set{(V_i, \varphi_i)}_{i = 1, \dotsc, k}\) をとる： \({U_i \supset \closure{V_i} \supset V_i.}\)
非負関数 \({\mu_i: M \to \RR}\) を次のようにとる： \({\supp \mu_i = U_i,\ \mu_i(x) \gt 0 \text{ if } x \in \closure{V_i}.}\)
次のように \({\mu_i q_i(v)}\) をとると、\(TM\) 上 \(C^\infty\) 級かつ \(T_xM\) 上二次形式となる：
\[\begin{split}\mu_i q_i(v) = \begin{cases} \displaystyle \mu_i(x)\sum_{i=1}^n(v_i^{(i)})^2 & \quad \text{if } v \notin T_xM\\ 0 & \quad \text{if } v \in T_xM \end{cases}\end{split}\]\({\displaystyle q(v) = \sum_{i = 1}^k \mu_i q_i(v)}\) とすると、これが \(TM\) 上 \(C^\infty\) 級かつ \(T_xM\) 上正値二次形式となる。
\({\forall a \in \RR, q(av) = a^2 q(v)}\) はすぐにわかる。
\({q(u + v) - q(u) - q(v) = \sum \mu_i(q_i(u + v) - q_i(u) - q_i(v))}\) であるが、カッコの中身が bilinear なので和をとっても bilinear だ。
\({q(v) = 0, v \in T_xM \implies \forall i, x \in V_i,}\)
\[v = \sum_j v_i^{(i)}\frac{\partial}{\partial x_j^{(i)}},\quad q_i(v) = \sum (v_i^{(i)})^2 = 0.\quad \therefore v = 0.\]
問題 7.7.2: コンパクト多様体の微分同相写像からなる有限群 \(F\) に対して、次を満たすリーマン計量 \(g\) が存在する： \({\forall f \in F, f^*g = g.}\)
記号を導入する：
\({F = \set{f_1 = \id_M, f_2, \dotsc, f_k}}\) と書く。
写像 \(\fn{q}{TM}M\) を「各接空間でリーマン計量を与える二次形式を与える」ようにとる。
ヒントにあるように写像 \({\hat{q}(v) = \dfrac{1}{k}\sum(q((f_i)_*v)}\) を定義する。
\(\fn{(f_i)_*}{T_xM}T_{f_i(x)}M\) は線形写像である。
\({q((f_i)_*v)}\) は \(T_xM\) 上は正定値二次形式である。これを \(k\) で割っても正定値二次形式である。
ゆえに \(\hat{q}\) は \(M\) 上でリーマン計量を与える。
\[\begin{split}\begin{align*} (f^*\hat{q})(v) & = \hat{q}(f_*v) \quad(\because \text{pull-back})\\ &= \frac{1}{k}\sum_{i = 1}^k q((f_i)_*(f_*v))\\ &= \frac{1}{k}\sum_{i = 1}^k q((f_if)_*v) \quad(\because \text{covariant})\\ &= \frac{1}{k}\sum_{i = 1}^k q((f_i)_*v) \quad(\because \text{property of }F)\\ &= \hat{q}(v).\\ \therefore f^*g &= g. \end{align*}\end{split}\]
問題 7.7.3: リーマン多様体間の等長変換はリーマン計量をリーマン計量に写す微分同相写像である。
\({(M, g_M)}\) および \({(N, g_N)}\) をリーマン多様体、
\(d_{g_M}\) および \(d_{g_N}\) をそれぞれの多様体のリーマン計量から定まる距離、
\(\fn{f}{M}N\) を次を満たす写像であるとする：
\[d_{g_N}(f(x), f(y)) = d_{g_M}(x, y)\]
このとき各接ベクトル \({v_1, v_2 \in T_xM}\) について次が成り立つ：
\[g_N(f_* v_1, f_* v_2) = g_M(v_1, v_2).\]証明の前半がピンとこない：
まず等長写像 \(f\) は同相写像であるとしてよい。
さらに \(f\) は測地線を測地線に写すものとしてよい。
以上より接束間の写像 \(\fn{F}{TM}TN\) が定まる。
この \(F\) をどのように捻出したのかがわからない。
\(M\) 上の方向微分は \(N\) 上の方向微分に写る。つまり各方向に微分可能である。
ここで測地線を一つとる。\(\fn{\gamma}{[-\eps, \eps]}M\) とし、 \({\displaystyle \dd{\gamma}{t}(0) = v \in T_xM}\) とおく。
さて \(v\) の \(TM\) における近傍とは、\({\gamma(-\eps)}\) のある小近傍から \({\gamma(\eps)}\) のある小近傍への測地線の定める接ベクトルの全体である。そこでこの測地線の像の測地線というものを考える。これは \(F(v)\) の \(TN\) における近傍に含まれるので、写像 \(F\) は連続である。
証明の後半は \(M\) 上の指数写像の考察となる。
指数写像 \(\fn{E_x}{T_xM}M\) は局所的に微分同相である (p. 153)。
各接ベクトル \({v_1, v_2 \in T_xM}\) に対して、それぞれの測地線上の点 \({E_x(sv_1), E_x(sv_2)}\) を結ぶ最短測地線の線分 \(l_s\) を考える。
\(s\) は微小なパラメーターと思って良い。
線分と書いたが、もちろん一般には「真っ直ぐ」というわけではない。
この線分が \(E_x\inv\) により \(T_xM\) の \(C^\infty\) 級曲線族を構成する。
ここで図解を入れたいところだが、想像力でカバーする。線分 \({l_s \subset M}\) の両端点を \({t : 1 - t}\) に内分する点を \({p_{st} \in M}\) とする。
さらに接ベクトル \({w_{st} = E_x\inv(p_{st}) \in T_xM}\) を考える。図を描いて考えると、次の極限が理解できる：
\[\lim_{s \to 0}\frac{w_{st}}{s} = tv_1 + (1 - t) v_2.\]このことから写像 \(F\) が線形であると言える。
ここも記述が足らないような感がある。特に \(N\) 側に関する記述がない。
以上より \(f\) は微分可能であり、\(F\) がその接写像である：
\[f_* = F.\]
このとき結論の等式が成り立つ。
最後に ナッシュの埋め込み定理 について触れている。
7.8 ユークリッド空間の超曲面の測地線¶
\({f(\bm x) = 0}\) で表される曲面の測地線を求める。
\({f(\bm x) = 0}\) を二度微分する。
ある関数 \({a(\bm x, \bm v)}\) に対して、測地線の方程式を次のように立てる：
\begin{gather*} \diff{x_i}{t} = v_i,\ \diff{v_i}{t} = a(\bm x, \bm v)\frac{\partial}{\partial x_i}(\bm x). \end{gather*}この式を二度微分した式に代入して \({a(\bm x, \bm v)}\) について表す：
\begin{gather*} a(\bm x, \bm v) = - \frac {\displaystyle \sum_{i, j = 1}^n \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}(\bm x) v_i v_j} {\displaystyle \sum_{i, j = 1}^n \left(\frac{\partial f}{\partial x_i}(\bm x)\right)^2} \end{gather*}最後にこの式を測地線の方程式に代入して \({a(\bm x, \bm v)}\) を消去する。
\({z = h(x_1, x_2)}\) とグラフ表示される曲面では \({f = -h(x_1, x_2) + z}\) ととることで次の式で測地線を表せる：
\begin{gather*} \diff{v_i}{t} = -\frac {\displaystyle \frac{\partial h}{\partial x_i}} {\displaystyle 1 + \left(\frac{\partial h}{\partial x_1}\right)^2 + \left(\frac{\partial h}{\partial x_2}\right)^2} \left( \frac{\partial^2 h }{\partial x_1^2}v_1^2 + 2 \frac{\partial^2 h}{\partial x_1 \partial x_2}v_1 v_2 + \frac{\partial^2 h}{\partial x_2^2} v_2^2 \right) \ \text{ for } i = 1, 2. \end{gather*}
例 7.8.1: 双曲放物面 \({z = x_1 x_2 = h}\)
\({Dh = \begin{pmatrix}x_2 & x_1\end{pmatrix}}\)
\({H_h = \begin{pmatrix}0 & 1\\1 & 0\end{pmatrix}}\)
\[\begin{split}\mdiff{}{2}{t}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix} = - \frac{2}{1 + x_1^2 + x_2^2} \diff{x_1}{t}\diff{x_2}{t} \begin{pmatrix}x_2\\x_1\end{pmatrix}.\end{split}\]
例 7.8.2: 放物面 \({z = -x_1^2 - x_2^2 = h}\)
\({Dh = \begin{pmatrix}-2x_1\quad -2x_2\end{pmatrix}}\)
\({H_h = \begin{pmatrix}-2 & 0\\0 & -2\end{pmatrix}}\)
\[\begin{split}\mdiff{}{2}{t}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix} = -\frac{4}{1 + 4x_1^2 + 4x_2^2} \left( \left(\mdiff{x_1}{2}{t}\right)^2 + \left(\mdiff{x_2}{2}{t}\right)^2 \right) \begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}.\end{split}\]
7.9 第 7 章の問題の解答¶
本文中に埋めた。
