第 8 章 多様体上のベクトル場（前編）¶
微分法を多様体上で考える。
多様体上の変化の対象はフローとするのが自然だ。
8.1 フローと関数¶
フロー \(F_t\) と \(C^\infty\) 級関数 \(f\) について、フローの軌道に沿う変化が考えられる。すなわちフローを生成するベクトル場を \({\displaystyle X = \diff{F_t}{t} \circ F_t\inv}\) とすると
\[\diff{(f \circ F_t)(x)}{t} = (Xf)(F_t(x)).\]ベクトル場による関数の微分とは、ベクトル場が生成するフローの軌道に沿った変化率ということか。
\(\fn{Xf}{M}\RR\) は \(C^\infty\) 級である。
\(\fn{X}{C^\infty(M)}C^\infty(M)\) は線形写像かつライプニッツ則を満たす (cf. 問題 5.1.6)。
\({Xf = 0 \implies f(F_t(x)) = f(x).}\)
問題 8.1.1: \({X = \dfrac{\partial}{\partial x} + \alpha \dfrac{\partial}{\partial y},\ \alpha \in \RR \setminus \QQ}\) は \({\RR^2/\ZZ^2}\) 上のベクトル場を与える。このとき \({f \in C^\infty(M)}\) が \({Xf = 0}\) であるならば \(f\) は定数関数である。
まず \(X\) のフロー \(\varphi_t\) を \(\RR^2\) で計算する。
\(x, y\) ごとに単純に微分方程式を解くと \({x = t + x_0,\ y = \alpha t + y_0}\) のようになる。
\({\varphi_t(x0, y0) = (x_0, y_0) + (t, \alpha t)}\) で初期値をそのまま変数の文字に置き換えて \({\varphi_t(x, y) = (x + t, y + \alpha t)}\) となる。これは \({\varphi_t \circ \varphi_s = \varphi_{t + s}}\) を満たすのでフローになっている。
次に \({\varphi_t(x, y) = (x + t, y + \alpha t) \pmod{\ZZ^2}}\) は \({\RR^2/\ZZ^2}\) 上のフローとなっていることを確認する。
軌道は \({G(x, y) = \set{(x + t, y + \alpha t) \in \RR^2/\ZZ^2 \sth t \in \RR}}\) と書ける。この集合は稠密なので、ベクトル場によりゼロになる関数は定数関数となる。
だから本題はこの軌道の稠密性の証明だ。この軌道は \({\RR^2/\ZZ^2}\) の上下左右の縁で無限ループする傾きが \(\alpha\) の直線だ。図に描くといい。
稠密でないと仮定して矛盾を導く。適当な \({\eps \gt 0}\) が存在して開円板 \(D_\eps\) が \({\subset \RR^2/\ZZ^2 \setminus G(x, y).}\) となるようなものがある。
そのような正の数で最大のものを改めて \(\eps\) とする。
(?) \({\closure{D_\eps} \supset \closure{G(x, y)}.}\)
このとき各 \({\varphi_{2n\eps}(D_\eps)\quad(n \in \ZZ)}\) は互いに交わらない。
\({\varphi_{2n\eps}(D_\eps)}\) の面積の和を \({n \in \ZZ}\) についてとると、これは \(\infty\) に発散する。しかし、これは \({\RR^2/\ZZ^2}\) の面積 1 を超えるので矛盾となる。
問題 8.1.2: コンパクト多様体上のベクトル場 \(X\) と多様体上の \(C^\infty\) 級関数 \(f\) について \({Xf = 0 \implies f = 0}\)
\[\diff{(f \circ \varphi_t(x))}{t} = (Xf)(\varphi_t(x)) = f(\varphi_t(x)).\]これを解くと \({\varphi_t(x) = \mathrm{e}^t f(x).}\)
\({f(x) \ne 0}\) とすると \({f \to \infty\ (t \to \infty)}\) となるが、これは多様体がコンパクトであることに矛盾する（本書ではわざわざこれに言及していない）。したがって \({f(x) = 0.}\)
フローに沿う微分は偏微分であると考える。
\(\RR^2\) で定義された \(C^\infty\) 級関数のような \({\displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}}\) が成り立つこととは事情が違って、ベクトル場二つを順に作用させる結果は、その作用の順序に依存する。
8.2 フローとベクトル場¶
ベクトル場 \(X\) とそれが生成するフロー \(F_t\) との関係は次のとおり：
\[((F_t)_*X)(F_t(x)) = (F_t)_*X(x).\]
定義 8.2.1: ブラケット積 or 括弧積
\(X, Y\) をベクトル場、\(X\) の生成するフロー \(F_t\) について次の値を定義する：
\[[X, Y] = \left.\diff{}{t}\right|_{t = 0}(F_{-t})_*Y\]\({[X, Y]}\) もベクトル場となる。
\(X, Y\) どちらについても線形である \({\because [Y, X] = -[X, Y]}\)
ヤコビ恒等式 が成り立つ。すなわち \(Z\) もベクトル場とすると \({[[X, Y], Z] + [[Y, Z], X] + [[Z, X], Y] = 0.}\)
ベクトル場は関数空間から関数空間への微分作用素でもある。
\({[X, Y]f = X(Yf) - Y(Xf)}\) 計算しやすい。
式で書き下してみる：
\[\begin{split}[X, Y] = \sum_{i, j}\left( X_i \frac{\partial}{\partial x_i} Y_j \frac{\partial}{\partial x_j} -Y_j \frac{\partial}{\partial x_j} X_i \frac{\partial}{\partial x_i} \right),\\ \text{ where } X = \sum_{i}X_i \frac{\partial}{\partial x_i},\ Y = \sum_{i}Y_i \frac{\partial}{\partial x_i}.\end{split}\]幾何的解釈は「ベクトル場 \(Y\) を \(F_{-t}\) で動かしたときの変化率」である。
例題 8.2.2: \(n\) 次元ユークリッド空間上の線形ベクトル場の括弧積
式で書き下す。
\({\displaystyle X = \sum_{i, j}^n a_{ij} x_j \frac{\partial}{\partial x_i}}\), \({\displaystyle Y = \sum_{i, j}^n b_{ij} x_j \frac{\partial}{\partial x_i}}`と置いてひたすら式を展開する。最終的に :math:\)sum` 記号が三つ並ぶ。
\(X\) が \(\varphi_t\) を生成するとして \({(\varphi_{-t}Y)}\) を書いて、それに基いて \({[X, Y] = \left.\diff{}{t}\right|_{t = 0}((\varphi_{-t})_*Y)}\) を求める。
\({A = (a_{ij}), B = (b_{ij})}\) とする。\(X\) のフローは微分方程式を解いて \({\varphi_t(\bm x) = \mathrm e^{tA} \bm x}\) であるから、 \({((\varphi_{-t})_*Y)(\bm x) = \mathrm e^{-tA}B \mathrm e^{tA} \bm x}\)
\[\begin{split}\begin{align*} \diff{}{t}((\varphi_{-t})_*Y)(\bm x) &= \diff{}{t}(\mathrm e^{-tA}B \mathrm e^{tA} \bm x)\\ &= -A \mathrm e^{-tA}B \mathrm e^{tA} \bm x + \mathrm e^{-tA}BA \mathrm e^{tA} \bm x\\ &= -\mathrm e^{-tA}(AB - BA)\mathrm e^{tA} \bm x \\ \therefore \left.\diff{}{t}\right|_{t = 0}((\varphi_{-t})_*Y) &= -(AB - BA). \end{align*}\end{split}\]
なお、微分同相写像 \(\varphi_t\) とベクトル場 \(Y\) に対してベクトル場 \({{\varphi_t}_*Y}\) を次の式で定義する：
\[\begin{split}\begin{align*} ({\varphi_t}_*Y)(\varphi_t(x)) &= {\varphi_t}_*(Y(x)), \quad\text{or }\\ ({\varphi_t}_*Y)(x) &= {\varphi_t}_*(Y(\varphi_{-t}(x))). \end{align*}\end{split}\]
例題 8.2.3
仮定：
\(M, N\) をコンパクト多様体、
\(\fn{F}{M}N\) を \(C^\infty\) 級写像、
\(X, Y\) を \(N\) 上のベクトル場とし、
\({\overset{\sim}{X}, \overset{\sim}{Y}}\) を \(M\) 上のベクトル場で次のようになっている： \({F_*\overset{\sim}{X} = X}, \ {F_*\overset{\sim}{Y} = Y.}\)
結論：
\({F_*([\overset{\sim}{X}, \overset{\sim}{Y}]) = [X, Y].}\)
特に \(\fn{F}{N}N\) が微分同相ならば \({F_*([X, Y]) = [F_*X, F_*Y].}\)
証明：
例題 6.5.5 の恒等式 \({F \circ \overset{\sim}{\varphi_t} = \varphi_t \circ F}\) を利用する。
あとなぜか \({\displaystyle [\overset{\sim}{X}, \overset{\sim}{Y}] = \lim_{t \to 0}\frac{1}{t}(\overset{\sim}{\varphi_{-t}}_* \overset{\sim}{Y} - \overset{\sim}{Y})}\) を利用する。
\[\begin{split}\begin{align*} F_*([\overset{\sim}{X}, \overset{\sim}{Y}]) &= F_*\left(\lim_{t \to 0}\frac{\overset{\sim}{\varphi_{-t}}_* \overset{\sim}{Y} - \overset{\sim}{Y}}{t}\right)\\ &= \lim_{t \to 0}\frac{\overset{\sim}{\varphi_{-t}}_* F_* \overset{\sim}{Y} - F_* \overset{\sim}{Y}}{t}\\ &= \lim_{t \to 0}\frac{{\varphi_{-t}}_* Y - Y}{t}\\ &= [X, Y]. \end{align*}\end{split}\]最初の等号は括弧積の定義による。
次の等号は 例題 6.5.5 の恒等式による。
その次の等号は本問の仮定を使った。
最後の等号は再び括弧積の定義による。
例題 8.2.4
仮定：
\(M\) はコンパクト多様体で、
\({\xi, \eta}\) はその上のベクトル場であって、
\({[\xi, \eta] = 0}\) であり、
それぞれのベクトル場はフロー \(\varphi_s, \psi_t\) を生成する。
結論：
\({\varphi_s \circ \psi_t = \psi_t \circ \varphi_s.}\)
証明：
\({(\varphi_s)_*\eta = \eta}\) を示したい。
\({\displaystyle \left.\diff{}{s}((\varphi_{-s})_*\eta)(x)\right|_{s = 0} = 0}\) を示して \({s = 0}\) で \({(\varphi_s)_*\eta = \eta}\) を示して結論する。
\[\begin{split}\begin{align*} \diff{({\varphi_{-s}}_*\eta)(x)}{s} &= {\varphi_{-s}}_* \left( \left.\diff{({\varphi_{-u}}_*\eta)(\varphi_s(x))}{u}\right|_{s = 0}\right)\\ &= {\varphi_{-s}}_* ([\xi, \eta]\varphi_s(x))\\ &= {\varphi_{-s}}_* (0)\\ &= 0. \end{align*}\end{split}\]したがって \({{\varphi_{-s}}_*\eta(x) = \id_*\eta(x) = \eta(x).}\) すなわち \({{\varphi_{-s}}_*\eta = \eta.}\)
問題 8.2.5
仮定：
\(M\) はコンパクト多様体で、
\(\xi, \eta\) はその上のベクトル場であって、
\({[\xi, \eta] = \eta}\) であり、
それぞれのベクトル場はフロー \(\varphi_s, \psi_t\) を生成する。
結論：
(A): \({{\varphi_s}_*\eta = \mathrm e^s\eta,}\)
(B): \({\varphi_s \circ \psi_t \circ \varphi_{-s} = \psi_{\mathrm e^s t}.}\)
証明：
(A) ならば \({\mathrm e^s\eta}\) が \({\psi_{\mathrm e^s t}}\) を生成するということであるので (B) であると言える。
\[\begin{split}\begin{align*} \diff{({\varphi_{-s}}_*\eta)(x)}{s} &= \dots\\ &= {\varphi_{-s}}_* ([\xi, \eta]\varphi_s(x))\\ &= {\varphi_{-s}}_* \eta(\varphi_s(x))\\ &= {\varphi_{-s}}_* \eta(x). \end{align*}\end{split}\]次に \({\displaystyle \left.\diff{(\mathrm e^s\eta)(x)}{s}\right|_s = \mathrm e^s \eta(x)}\) を利用して \({s = 0}\) のときを確かめる。
\[\left.{\varphi_{-s}}_* \eta\right|_{s=0} = \eta = \left.\mathrm e^s \eta\right|_{s=0}.\]したがって \({{\varphi_{-s}}_* \eta = \mathrm e^s \eta.}\)
リー群（多様体でもある）の構造の解析にはそれに即したベクトル場を用いる。
問題 8.2.6: リー群
左不変ベクトル場全体 \(\mathfrak g\) は \(\dim G\) 次元のベクトル空間である（リー環 or リー代数）。
\(X\) が左不変ベクトル場であるとは \({\forall g \in G, (L_g)_*X = X}\) であることをいう。
その全体を \({\mathfrak g = \set{X \in \mathfrak X(G) \sth \forall g \in G, (L_g)_*X = X}}\) で表す。
\(L_g\) の定義は 4.3.3 でやった。
証明は \(\mathfrak g\) と \(T_1G\) が同型であることを示す。
写像 \({E(\xi) = \xi(1)}\) を考える。これはベクトル空間の準同型写像であるので、あとは全単射性を示せばよい。
\(E\) が単射であること：
\({E(\xi) = 0 \implies \xi = 0}\) を示す。
\({g, h \in G}\) と \({\xi \in \mathfrak g}\) に対して、ベクトル場と左移動の関係は次で定義されている：
\[((L_g)_*\xi)(L_g(h)) = (L_g)_*\xi(h).\]左辺は左不変性と左移動の定義により \({\xi(gh)}\) に等しい。
この式に \({h = 1}\) を代入すると \({\xi(g) = {L_g}_*\xi(1) = {L_g}_*E(1)}\) がわかる。
\({E(\xi) = \xi(1)}\) より \({\xi(g) = (L_g)_*E(\xi).}\)
したがって \({E(\xi) = 0 \implies \xi(g) = 0.}\) \({g \in G}\) は任意だから \({\xi = 0}\) が成り立つ。
\({\ker E = 0}\) が示されたので、\(E\) は単射である。
\(E\) が全射であること：
\({v \in T_1G}\) に対してベクトル場を \(\fnm{\xi}{G}{TG}{h}(L_h)_*v\) とおく。つまり \({\xi(h) = (L_h)_* v}\) とおく。
再びベクトル場と左移動の関係の定義を思い出す。
左辺は \({((L_g)_*\xi)(L_g(h)) = ((L_g)_*\xi)(gh).}\)
右辺は \({(L_g)_*\xi(h) = (L_g)_*(L_h)_* v = (L_{gh})_*v = \xi(gh).}\)
これらの最右辺が等しいということは、 \({(L_g)_*\xi = \xi}\) であるということだ。よって \({\xi \in \mathfrak g.}\)
次のようにして \({E(\xi) = v}\) がわかる：
\[E(\xi) = \xi(1) = (L_1)_* v = \id_* v = v.\]
以上により、\(E\) が全射であることが示された。
\(\xi, \eta\) を左不変ベクトル場とすると \({[\xi, \eta]}\) もそうである。
\[\begin{split}\begin{align*} &{L_g}_*[\xi, \eta] = [{L_g}_*\xi, {L_g}_*\eta] = [\xi, \eta].\\ &\therefore [\xi, \eta] \in \mathfrak g. \end{align*}\end{split}\]ここで 例題 8.2.3 の結果を利用している。
\(\xi\) が生成するフローを \(\varphi_t\) とする。このとき \({\forall g \in G, \varphi_t(g) = g\varphi_t(1).}\)
この \(\varphi_t(1)\) を \(\exp(t\xi)\) と書く。
\({{L_g}_* \xi = \xi}\) より \({{L_g}_* \varphi_t = \varphi_t L_g.}\)
したがって \({\varphi_t(g) = \varphi_t(L_g(1)) = L_g \varphi_t(1) = g\varphi_t(1).}\)
\({\xi \longmapsto \exp(\xi)}\) は \(\mathfrak g\) のゼロ近傍から \(G\) の単位元 1 の近傍への微分同相写像である。
接写像 \({\exp_*: T_0\mathfrak g \longmapsto T_1G}\) が同型写像であることを示す。
\({t = 0}\) における曲線 \({t\xi\quad(t \in \RR)}\) の接ベクトルは \({\xi \in \mathfrak g \cong T_0\mathfrak g}\) である。
\(G\) 上の曲線 \({\exp(t\xi) = \varphi_t(1)}\) の \({t = 0}\) における接ベクトルを計算して \({= \xi(1) \in T_1(G)}\) とする。
\[\begin{split}\begin{align*} \left.\diff{\exp(t\xi)}{t}\right|_{t = 0} &= \left.\diff{\varphi_t(1)}{t}\right|_{t = 0}\\ &= \left.\xi(\varphi_t(1))\right|_{t = 0}\\ &= \xi(1) \in T_1(G). \end{align*}\end{split}\]最初の等号は \(\exp(t\xi)\) の定義による。
次の等号はベクトル場とフローの関係による。
最後の等号は \({t = 0}\) による。
あとは逆写像定理による。
注意 8.2.7
\({G \subset GL_n(\RR)}\) を部分群とすると、\({A \in G}\) における接ベクトルが \(AX\) の形（ベクトルとは言っているが行列である）をしていることが \(X\) が左不変であることの条件である。
\(X\) が生成するフローを \(F_t\) とする。このとき \({\displaystyle \diff{F_t(A)}{t} = F_t(A)X}\) を満たすので \({F_t(A) = \mathrm e^{tX}.}\)
問題 8.2.6 の \(\exp\) はリー群版の指数写像である。
8.3 行列群上の計量（展開）¶
\({G = GL_n(\RR)}\) 上の曲線 \(c(t)\) の「接ベクトルの長さの自乗」を二通り与えて、それぞれの測地線の方程式を調べる。ただしどちらの与え方も \(G\) の左作用が接ベクトルの長さを不変にするように定義する。
\({\trace {}^t\!(c'){}^t\!(c\inv)c\inv c'}\)
\({\trace c\inv c'c\inv c'}\)
単位行列 \(I_n\) においては \(n^2\) 次元ユークリッド空間の計量と一致する。
この前と同じく変分法を適用して、値がゼロになる必要条件をそれぞれ調べる。
それぞれの測地線の方程式は次のようになる：
\({-c\inv c'' + {}^t\!(c\inv c')(c\inv c') + (c\inv c')^2 - (c\inv c')\ {}^t\!(c\inv c') = 0}\)
\({-(c\inv c')' = 0}\)
例題 8.3.1: 最初の \({c(t) = \mathrm e^{tA}}\) が測地線である条件
測地線の式の左辺を展開すると \({{}^t\!AA - A\,^t\!A}\) となるが、これがゼロであるということは \({A \in O(n)}\) を意味する。
行列群上の計量は非リーマンであるのがよい。そうすると曲線の長さが正にも負にもなるかもしれず、そうなると局所性最短性はどこかへ行ってしまう。ただし、長さは「臨界的である」ことで定義される。
指数写像とは、リーマン多様体上の測地線の方程式により定義される写像だ。
