幾何学 I 多様体入門 読書ノート

まだ読んでいる途中。第五章あたりが難しい。本当は『幾何学 III 微分形式』を攻略したいが、難易度が高いようなので素直に I から読み始めることにする。

Sphinx でテキストを入力する便宜上、本書の記号とは一部異なるものを利用する。

著者:

坪井 俊

出版社:

東京大学出版会

発行年:

2005 年

ISBN:

978-4-13-062954-6

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書籍詳細

• 第 1 章 多様体論について
  • 1.1 なぜ多様体論を学ぶのか
  • 1.2 逆写像定理、陰関数定理（基本）
  • 1.3 逆写像定理の証明
    • 1.3.1 特別な場合の逆写像定理
    • 1.3.2 一般の場合の逆写像定理
  • 1.4 本書の概要
  • 1.5 第 1 章の問題の回答
• 第 2 章 ユークリッド空間内の多様体
  • 2.1 簡単な例（基礎）
    • 2.1.1 曲線
    • 2.1.2 （超）曲面
  • 2.2 ユークリッド空間内の多様体
  • 2.3 逆写像定理、陰関数定理の意味
  • 2.4 多様体上の関数、多様体からの写像
  • 2.5 直線、超平面との関係
  • 2.6 第 2 章の問題の解答
• 第 3 章 多様体の定義（前編）
  • 3.1 微分可能多様体の定義
  • 3.2 商空間（基礎）
  • 3.3 変換群
• 第 3 章 多様体の定義（後編）
  • 3.4 \(C^r\) 級多様体の間の \(C^s\) 級写像、微分同相写像
  • 3.5 座標変換
  • 3.6 向き付け（展開）
  • 3.7 \(C^\infty\) 級写像の存在について
  • 3.8 第 3 章の解答
• 第 4 章 接空間（前編）
  • 4.1 曲線の接ベクトル
  • 4.2 接ベクトル空間
  • 4.3 接写像
• 第 4 章 接空間（後編）
  • 4.4 部分多様体
  • 4.5 接束（展開）
• 第 5 章 多様体上の関数（前編）
  • 5.1 関数の台
  • 5.2 コンパクト多様体のユークリッド空間への埋め込み
  • 5.3 \(C^\infty\) 級写像と多様体の埋め込み、はめ込み
• 第 5 章 多様体上の関数（後編）
  • 5.4 サードの定理とモース関数
  • 5.5 サードの定理の証明の概略（展開）
  • 5.6 モース関数の存在の証明の概略（展開）
  • 5.7 関数の空間、写像の空間（展開）
  • 5.8 第 5 章の問題の解答
• 第 6 章 多様体上のフロー（前編）
  • 6.1 多様体の部分集合の比較、アイソトピー
  • 6.2 フロー
• 第 6 章 多様体上のフロー（後編）
  • 6.3 常微分方程式の解の存在と一意性（基本）
  • 6.4 コンパクト多様体上のベクトル場
  • 6.5 連結多様体上の部分集合の比較
  • 6.6 第 6 章の解答
• 第 7 章 多様体上の曲線の長さ（前編）
  • 7.1 ユークリッド空間内の多様体上の曲線（基礎）
  • 7.2 リーマン計量
  • 7.3 測地線
  • 7.4 局所的最短性
• 第 7 章 多様体上の曲線の長さ（後編）
  • 7.5 測地流（展開）
  • 7.6 等長変換群（展開）
  • 7.7 リーマン計量の存在
  • 7.8 ユークリッド空間の超曲面の測地線
  • 7.9 第 7 章の問題の解答
• 第 8 章 多様体上のベクトル場（前編）
  • 8.1 フローと関数
  • 8.2 フローとベクトル場
  • 8.3 行列群上の計量（展開）
• 第 8 章 多様体上のベクトル場（後編）
  • 8.4 \(k\)-枠場（展開）
  • 8.5 勾配ベクトル場
  • 8.6 ファイバー束（展開）
  • 8.7 第 8 章の問題の回答