付録 多様体の三角形分割の構成（展開） 2/2¶
4. 多様体と \(\widehat{L}\) の交わり方と記述する。
4.1 \({x \in M}\) について \(\sigma\) を \(B_{8\delta_0}(x)\) に含まれる \(\widehat{L}\) の \(k\) 単体であるとする。このとき：
\[\sigma \cap M \ne \varnothing \implies k \ge N - n,\ T_xM \cap \sigma \ne \varnothing.\]\({y \in \sigma \cap M}\) を考える。\(\sigma\) の面 \(\tau\) で \({\dist(\tau, T_xM) \lt 2(1 + 2\rho_0)\delta_0 c}\) となり、その中で次元が最小のものを考える。
4.3 \(\sigma^{N - n}\) を \(\widehat{L}\) の \({N - n}\) 単体であるとすると、これは \(M\) と高々一点で交わる。
1.1 と 3.2 による。\({y, z \in \sigma^{N - n} \cap M}\) に対して：
\[\begin{split}\begin{align*} \norm{(y - \pi(y)) - (z - \pi(z))} &\ge \eps\norm{\pi(y) - \pi(z)}\\ &\ge \frac{ac^2}{2^4}\norm{\pi(y) - \pi(z)}. \end{align*}\end{split}\]ここで 3.2 によると：
\[\norm{(y - \pi(y)) - (z - \pi(z))} \ge 2c \norm{\pi(y) - \pi(z)}.\]\(\dfrac{ac^2}{2^4} \lt 2c\) だから \({y = z}\) が必要である。
4.4 \(\sigma\) を \(\widehat{L}\) の \({N - n + k}\) 単体であるとすると、\({\sigma \cap M \ne \varnothing}\) であるならば、次のような \({N - n}\) 単体が存在する：
各頂点 \(v\) が \(\sigma\) の頂点を頂点とする。
\({x \in \sigma \cap M}\) における \(T_xM\) と交わる \(\sigma\) の \({N - n}\) 次元の面 \(\tau\) を \(\RR^N/{T_xM}\) への射影によって \({0 = [T_xM]}\) を含む単体に写る（？）
さらに \({\partial(\tau * v)\setminus\tau}\) の単体で \({0 = [T_xM]}\) を含む単体に写るものがある。それに対して \({? \cap T_xM \ne \varnothing}\) かつ \({? \subset B_{8\delta_0}(x)}\) により 4.2 を用いて \({? \cap M \ne \varnothing.}\)
4.5 \(\sigma^{N - n} = {\langle v_0 \dots v_{N - n}\rangle}\) と \(M\) が交わるならば、交点の重心座標は \(2c\) 以上である。すなわち、交点を \({\psi(\sigma^{N - n})}\) を書くと、
\(\displaystyle \sum_{i = 0}^{N - n}t_i v_i\) と表すときに \({t_i \ge 2c\quad(i = 0, \dotsc, N - n)}\) である。
\(v_i\) の対面 \(\tau_i = {\langle v_0 \dots v_{i - 1} v_{i + 1} \dots v_{N - n}\rangle}\) を含む affine 空間 \({P(\tau_i)}\) からの距離を考える：
\[\dist(v_i, P(\tau_i)) \le \diam(\sigma^{N - n}) \le (1 + 2\rho_0)\delta_0 c.\]2.4 より
\[\dist(\psi(\sigma^{N - n}), P(\tau_i)) \ge 2(1 + 2\rho_0)\delta_0 c.\]
4.6 \(\displaystyle {\psi(\sigma^{N - n + k})} = {\sum_{i = 0}^{N - n + k}t_i v_i\quad(k \ge 1)}\) と書くとき、\({t_i \ge \dfrac{2c}{k_N}.}\)
\(\sigma^{N - n + k} = {\langle v_0 \dots v_{N - n + k}\rangle \cap M} = \varnothing\) ならば、\(\tau_1, \dotsc, \tau_m \subset \sigma^{N - n + k}\) を \({N - n}\) 単体であり、いずれも \(M\) と交わるとすると、 4.4 と 4.5 により：
\[\psi(\sigma^{N - n + k}) = \frac{1}{m}\sum_{i = 1}^m \psi(\tau_i).\]
5. 多様体の近くに単体複体 \(K\) を構成する。
5.1 \(\widehat{L}\) の \({N - n}\) 単体の列である \({\sigma^{N - k} \prec \sigma^{N - k + 1} \prec \dotsb \prec \sigma^N}\) と \(M\) との交点 \(\tau_1, \dotsc, \tau_m\) を基に \(M\) の近くに単体複体 \(K\) を構成する。
5.2
もし \({x \in M}\) に対して単体 \({\tau \subset K}\) が \({\tau \subset B_{6\delta_0}(x)}\) を満たすならば、\(\tau\) を含む \(\widehat{L}\) の単体は \(B_{8\delta_0}(x)\) に含まれる。
単体 \({\tau \subset K}\) のすべての頂点は \(B_{8\eps\delta_0}(T_xM)\) に含まれる。なぜならばどの頂点も \(B_{8\eps\delta_0}(T_xM)\) にある \(M\) の点の平均が \(\tau\) の頂点であるからだ。
それゆえに \(\tau \subset B_{8\eps\delta_0}(T_xM).\)
\(B_{6\delta_0}(x)\) に含まれる \(K\) の単体は \(B_{16\eps\delta_0}(M)\) にも含まれる。
6. 法束の射影の制限が求める三角形分割であることを示す。
\({B_{16\eps\delta_0}(M) \subset U}\) としてよい。 1.2 の射影 \(\fn{p_M|K}{K}M\) が求めるものであることを示す。
6.1 「\({T_xM \cap B_{8\delta}(x)}\)」と「\(B_{8\delta}(x)\) に含まれる \(\widehat{L}\) の \({N - n + k}\) 単体」との共通部分は \(k\) 次元凸包である。
「\({T_xM \cap B_{4\delta}(x)}\) に交わる \(\widehat{L}\) の \(N\) 単体全体」と \(T_xM\) の共通部分をとる。すると「\(T_xM \cap B_{4\delta}(x)\) を含む集合」の凸包による分割が得られる。
この凸包による胞体分割に対する正則分割 \(K_1\) を考える。
\(\sigma^{N - n}\), \(\sigma^{N - n + k}\) を \(\widehat{L}\) の単体であるとする。
\(\varphi(\sigma^{N - n})\) を \(\sigma^{N - n}\) と \(T_xM\) との交点とする。
\(\sigma^{N - n + k}\) と \(T_xM\) は \({\varphi(\tau_i)\quad(i = 1, \dotsc, m)}\) で張られる凸包となる。ここで \({\tau_i\quad(i = 1, \dotsc, m)}\) は \(\sigma^{N - n + k}\) の \({N - n}\) 面であり、\(T_xM\) と交わるものであるとする。
\({\varphi(\sigma^{N - n + k}) = \dfrac{1}{m}\sum{i = 1}^m \varphi(\tau_i)}\) とおく。
\(K_1\) は \({T_xM \cap B_{4\delta}(x)}\) においては \(T_xM\) の単体分割を与える（単体複体である）。
\(\widehat{L}\) の単体列 \({\sigma^{N - n} \prec \sigma^{N - n + 1} \prec \dotsb \prec \sigma^N}\) と
\(K_1\) の単体 \({\langle\sigma^{N - n} \sigma^{N - n + 1} \dots \sigma^N\rangle}\) とを
対応させることができる。
以下、\(K\) と \(K_1\) を \({T_xM \cap B_{4\delta}(x)}\) に交わる \(\widehat{L}\) の \(N\) 単体全体との共通部分で考える。
6.2 単体複体 \(K, K_1\) の間に頂点を頂点に写す単体写像 \({\psi(\sigma^{N - n + k}) \longto \varphi(\sigma^{N - n + k})}\) が定義され、単体複体間の同型を導く。
\(K_1\) の単体分割は
\(T_xM\) の分割であり、
PL 多様体の条件を満たしている
から、\(K\) も PL 多様体の条件を満たしている。
図 A.5 の見方：平らな形状が \(K, K_1, T_xM\) だろう。
6.3 単体複体 \(K_t\) を構成する。
\[\langle\varphi_t(\sigma^{N - n})\varphi_t(\sigma^{N - n + 1})\dots\varphi_t(\sigma^{N})\rangle.\]を \(n\) 単体とする。ここで \(\varphi_t\) は次の式で定義するものとする：
\[\varphi_t(\sigma^{N - n + k}) = (1 - t)\psi(\sigma^{N - n + k}) + t\varphi(\sigma^{N - n + k}) \quad(0 \le k \le n).\]
4.6 が根拠。
4.5 と 4.6 と同様に \({\varphi(\sigma^{N - n}),}\ {\varphi(\sigma^{N - n + k})}\) の重心座標を考える。
4.5 と 2.4 から \({\dist(\varphi(\sigma^{N - n}), P(\tau_i)) \ge 2^2(1 + 2\rho_0)\delta_0 c}\) より \({t_i \ge 2^2c \ge 2c.}\)
4.6 で \({t_i \ge \dfrac{2^2c}{k_N} \ge \dfrac{2c}{k_N}.}\)
\(K_t\) の頂点 \({\varphi(\sigma^{N - n + k})}\) の重心座標について \({t_i \ge \dfrac{2c}{k_N}.}\)
内分点であるから。
6.4 \(K_t\) の \(n\) 単体 \({\tau^n = \langle\varphi_t(\sigma^{N - n})\varphi_t(\sigma^{N - n + 1})\dots\varphi_t(\sigma^{N})\rangle}\) について、affine 空間 \(P({\langle\varphi_t(\sigma^{N - n})\varphi_t(\sigma^{N - n + 1})\dots\varphi_t(\sigma^{N})\rangle})\) と \({\psi(\sigma^{N - n + k + 1})}\) の距離は \({\dfrac{H\delta_0}{\sqrt{N}}\dfrac{2c}{k_N} \ge \dfrac{\delta_0}{\sqrt{N}}\dfrac{c}{k_N}}\) 以上である。
6.3 を用いた。
したがって \(\tau^n\) の辺長も \(\dfrac{\delta_0}{\sqrt{N}}\dfrac{c}{k_N}\) 以上である。「体積」にいたっては
\[\dfrac{\delta_0^n}{n!\sqrt{N}^n}\dfrac{c^n}{k_N^n}\]以上である。
6.5 単体 \({\sigma = \langle v_0 \dots v_k\rangle}\) に対して \(\sigma\) を含む \(\RR^k\) 上での \(\sigma\) の体積 \({\operatorname{vol}_k(\sigma),\ \sum_{i = 1}^k a_i(v_i - v_0)}\) について次の不等式が成り立つ：
\[\abs{a_i}\norm{v_i - v_0} \le \dfrac{\norm{\sum_{i = 1}^k a_i(v_i - v_0)} \prod_{i = 1}^k \norm{v_i - v_0}} {k! \operatorname{vol}_k(\sigma)}.\]
考えてみよう。
6.6 \(K, K_1\) を結ぶ \(K_t\) の \(n\) 単体 \(\sigma_t\) が \(p_M\) の一点の逆像に横断的であることを示す。
\(\sigma_t\) が \(\pi_{T_pM}\) と十分な角度をもって横断的であることを示せば十分。
\({\bm v_{(i, t)} = \varphi_t(\sigma^{N - n + i}) - \varphi_t(\sigma^{N - n})}\) とする。
\(\displaystyle {\bm u = \sum_{i = 1}^n a_i \bm v_{(i, t)}}\) を \(\sigma_t\) 上の単位ベクトルであるとする。
微妙な表現である気がする。
\(a\) の値を調整することで \({\norm{\bm u - \pi(\bm u)} \le \dfrac{1}{2}}\) となり、「十分横断的である」ことが示される。
1.2 より \(p_M\) の一点の逆像に横断的である。
\({t = 1}\) のとき \(\fn{p_M}{K_1}M\) は \(n\) 単体の上で局所的に向きを保つ微分同相写像であるから、\({t = 0}\) でもそれは成り立つ。これが \(K\) の単体から \(M\) への微分同相写像となる。
