幾何学 III 微分形式 読書ノート

本ノートは 幾何学 I 多様体入門 読書ノート のすぐ次に取り組んでいる。

著者:

坪井 俊

出版社:

東京大学出版会

発行年:

2008 年

ISBN:

978-4-13-062956-0

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書籍詳細

• 第 1 章 ユークリッド空間上の微分形式 1/2
  • 1.1 微積分学の基本定理（基礎）
  • 1.2 微積分学の基本定理の多変数化（基礎）
  • 1.3 微分 2 形式（基礎）
  • 1.4 面積分（基礎）
  • 1.5 3 次元ユークリッド空間上のベクトル解析（基礎）
• 第 1 章 ユークリッド空間上の微分形式 1/2
  • 1.6 一般の微分形式
  • 1.7 ユークリッド空間の開集合上の微分形式の空間
  • 1.8 微分形式の引き戻し
  • 1.9 ポアンカレの補題の証明
  • 1.10 第 1 章の問題の解答
• 第 2 章 多様体上の微分形式 (1/3)
  • 2.1 多様体（基礎）
  • 2.2 余接空間
  • 2.3 p 次外積の空間
  • 2.4 外微分とドラーム・コホモロジー
• 第 2 章 多様体上の微分形式 (2/3)
  • 2.5 関手という見方
  • 2.6 マイヤー・ビエトリス完全系列
  • 2.7 球面のドラーム・コホモロジー
  • 2.8 コンパクト多様体のドラーム・コホモロジー
• 第 2 章 多様体上の微分形式 (3/3)
  • 2.9 直積のドラーム・コホモロジー（展開）
  • 2.10 チェック・ドラーム複体（展開）
  • 2.11 第 2 章の問題の解答
• 第 3 章 微分形式の積分 1/3
  • 3.1 閉微分 1 形式の積分
  • 3.2 単体からの写像に沿う積分
• 第 3 章 微分形式の積分 2/3
  • 3.3 単体的ドラーム理論（展開）
    • 3.3.1 単体複体
    • 3.3.2 単体複体上の微分形式
    • 3.3.3 単体的ドラームの定理
    • 3.3.4 多様体の三角形分割と単体的ドラーム理論
  • 3.4 向きを持つ多様体上の積分
• 第 3 章 微分形式の積分 3/3
  • 3.5 境界を持つ多様体とストークスの定理
  • 3.6 写像度
  • 3.7 ガウス写像
  • 3.8 第 3 章の問題の解答
• 第 4 章 微分形式とベクトル場 1/4
  • 4.1 多様体上のフローとベクトル場
    • 4.1.1 リー微分
    • 4.1.2 内部積
    • 4.1.3 カルタンの公式
    • 4.1.4 微分形式のベクトル場における値
• 第 4 章 微分形式とベクトル場 2/4
  • 4.2 リー群
    • 4.2.1 不変微分形式
    • 4.2.2 リー群の作用
    • 4.2.3 \(U(1)\) の自由作用
• 第 4 章 微分形式とベクトル場 3/4
  • 4.3 接平面場（展開）
    • 4.3.1 フロベニウスの定理
    • 4.3.2 微分形式の核
    • 4.3.3 体積形式とダイバージェンス
    • 4.3.4 シンプレクティク形式とハミルトン・ベクトル場
    • 4.3.5 接触形式とレーブ・ベクトル場
• 第 4 章 微分形式とベクトル場 4/4
  • 4.4 リーマン多様体上の微分形式とベクトル場
  • 4.5 第 4 章の問題
• 第 5 章 多様体の位相と微分形式 1/2
  • 5.1 多様体の三角形分割
    • 5.1.1 組合せ多様体
    • 5.1.2 三角形分割
  • 5.2 ポアンカレ双対原理
    • 5.2.1 基本類
    • 5.2.2 重心細分
    • 5.2.3 双対胞体
    • 5.2.4 単体の向き
    • 5.2.5 多様体の向きと単体の向き
    • 5.2.6 双対胞体のなす複体のホモロジー
    • 5.2.7 ポアンカレの双対定理の証明
• 第 5 章 多様体の位相と微分形式 2/2
  • 5.3 閉微分形式のポアンカレ双対（展開）
    • 5.3.1 閉形式の外積とポアンカレ双対
    • 5.3.2 単体的ドラーム理論と閉形式のポアンカレ双対
  • 5.4 第 5 章の解答
• 付録 多様体の三角形分割の構成（展開） 1/2
• 付録 多様体の三角形分割の構成（展開） 2/2