小平邦彦著『岩波講座基礎数学 解析入門 I』『同 II』より。 テキストとしては第二章、三章を読了。 理解度を深めるためにいったん読み進めを止めて、第一章から詳しく読み返す。

  • 有限小数ではないとする有理数 $q/p$を小数で表すアルゴリズム

    \[\begin{alignedat}{} q & = kp + r_1,&& 0 \lt r1 \lt p,\\ 10r_1 & = k_1 p + r_2,&& 0 \lt r_2 \lt p,\\ &...,&&\\ 10r_n & = k_n p + r_{n+1},&& 0 \lt r_{n+1} \lt p. \end{alignedat}\]

    このようにすると、$r_1, r_2, …, r_p$ のうち少なくとも二個は一致する（鳩の巣）。 $\exists i \exists j (r_i = r_j,\ 1 \le i \lt j \le p)\quad \therefore r_i = r_j,\ r_{i + 1} = r_{j + 1}, …$ となって、循環小数である。

  • Dedekind の切断をしっかりやる。切断には二種あり、「右側」の最小値が有理数全体の集合にあるかないかで分類される。
  • 二つの無理数の大小を、切断の「左」の集合包含関係で定義する。
    • 順序関係の推移律は集合の包含関係から由来するものであることがわかる。
  • 循環しない無限小数は無理数であることの証明。
    • 途中で $k_m \ge 1$ や $k_l \le 8$ とあるのは、十進数の表記の特性上から 0 または 9 が無限に続くケースはないことから出る関係。
    • $A’ = \lbrace r \in \mathbb{Q} \mid r \ge a_n\rbrace,\;\ A = \mathbb{Q}\setminus{A},\ \alpha = \langle A, A’ \rangle.$ として、$\alpha \notin \mathbb{Q}$ を示す。さきほどのアルゴリズムの考えは同じだ。
  • 極限
    • $\lim a_n b_n$ と $\lim a_n/b_n$ の証明における $\varepsilon$ のとり方に慣れること。