小平邦彦著『岩波講座基礎数学 解析入門 I』『同 II』より。

  • 関数の極限

    \[\lim_{x \to a}f(x) = \alpha \overset{\text{def}}{\iff}\\ \forall \varepsilon > 0 \exists \delta(\varepsilon) > 0 \forall x \in D\ \left(0 < \lvert x - a\rvert < \delta(\varepsilon) \implies \lvert f(x) - \alpha\rvert < \varepsilon\right).\]

  • Cauchy の判定法

    \[\forall \varepsilon > 0 \exists \delta(\varepsilon) > 0 \forall x \in D \forall y \in D\ \left(0 < \lvert x - y\rvert < \delta(\varepsilon)\right.\\ \implies \left.\lvert f(x) - f(y)\rvert < \varepsilon\right).\]

  • 関数のグラフ

    \[G_f = \lbrace(x, f(x)) \in \R \mid x \in D\rbrace.\]

  • 連続

    \[\lim_{x \to a}f(x) = f(a) \overset{\text{def}}{\iff}\\ \forall x \in D \forall \varepsilon > 0 \exists \delta(\varepsilon) > 0\ \left(\lvert x - a\rvert < \delta(\varepsilon) \implies \lvert f(x) - f(a)\rvert < \varepsilon\right).\]

    極限のときとは異なり、$f(a)$ が常に存在することに注意。

  • 右（左）に連続
  • 関数の部分定義域への制限
  • 中間値の定理

  • 一様連続：

    \[\forall \varepsilon > 0 \exists \delta(\varepsilon) > 0 \forall x \in D \forall y \in D\ \left(\lvert x - y\rvert < \delta(\varepsilon)\right.\\ \implies\left. \lvert f(x) - f(y)\rvert < \varepsilon\right).\]
  • 閉区間で定義された関数の性質
    • その区間で一様連続である。閉区間がコンパクトであることを利用して証明する。
    • 最大値・最小値をとる。
    • 値域もまた閉区間である。
  • 合成関数、単調関数、逆関数などの諸概念
  • $n$ 乗根、指数関数
  • $\displaystyle \mathrm{e}^x = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n = \sum_{n = 1}^{\infty}\frac{x^n}{n}$
  • 対数関数
  • 三角関数。一から $\cos, \sin$ を定義する。かなり細かい。

  • 微分可能、微分係数、導関数、無限小

    \[\begin{alignedat}{} f(x + h) - f(x) &= f'(x)h + \varepsilon(h, x)h,& \varepsilon(h, x) &\to 0\ (h \to 0)\\ \varDelta y &= \dfrac{dy}{dx}\varDelta x + \varepsilon(\varDelta x, x)\varDelta x,& \varepsilon(\varDelta x, x) &\to 0\ (\varDelta x \to 0) \end{alignedat}\]

    上の $\varepsilon(h, x)h$ と $\varepsilon(\varDelta x, x)\varDelta x$ をそれぞれ $o(h)$ と $o(\varDelta x)$ と記す。

  • 接線：接線とはグラフ $\lbrace(x, y) \mid y = f(a) + f’(a)(x - a), x \in \R\rbrace$ のことであると定義する。
  • 微分可能ならばそこで連続である。
  • Liouville 数
  • 右（左）微分係数、右（左）微分可能
  • 積・商・合成関数の微分
    • 導関数の計算方法を証明できるようにすること（特に合成関数の微分）。
  • 平均値の定理、Rolle の定理
    • 閉区間で連続なので、そこで最大値と最小値を取る。それらの点における微分係数を考える。
  • 逆関数の微分
  • 初等関数の導関数
  • Taylor の公式
    • 剰余項 $R_n$ の表現はいろいろある。
  • Taylor 展開
    • 関数が何回でも微分可能ならば $R_n \to 0\ (n \to 0).$
  • 凸関数、凹関数：$f^{\prime\prime}(a)$ の符号。
  • 極大・極小：$f’(a) = 0$ が必要。
  • 停留値・停留点：
    • $f’(a) = f^{\prime\prime}(a) = \dots = f^{n - 1}(a) = 0,\ f^n(a) \ne 0.$
    • $n$ が 3 以上の奇数である。
    • 停留点の近傍において、関数の凹凸が入れ替わる。
  • $C^n$ 級関数、$C^\infty$ 級関数
  • 実解析関数：Taylor 展開可能な関数の意。
  • 定理 3.11 の $\rho(x)$ は多様体論で出てくる 1 の分割に現れるもの。
  • $C^\infty$ 級関数は自由に変形できる。
  • 定理 3.20 は一致の定理か。