小平邦彦著『岩波講座基礎数学 解析入門 II』より。

  • 凸関数、極値条件、$C^\infty$ 級関数の変形をおさらいする。
  • 定積分
  • 平均値の定理（定積分）、平均値
  • 微分積分学の基本定理
    • 平均値の定理を用いて証明する。
  • 原始関数、積分定数
  • 不定積分
  • 初等関数で表される原始関数一覧（このリストは高校数学レベルで収めてある）
  • 逆三角関数、多価関数、主値
    • $\operatorname{Arcsin}{y} = (-1)^m \operatorname{Arcsin}{y} + m\pi,\ m \in \Z.$
    • $\displaystyle \int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1 - x^2}} = \operatorname{Arcsin}{x},\ \lvert x\rvert < 1.$
    • $\displaystyle \int\frac{\mathrm{d}x}{1 + x^2} = \operatorname{Arctan}{x}.$
  • 部分積分の公式
    • $\displaystyle \int\sqrt{1 - x^2} \,\mathrm{d}x = \frac{1}{2}\left(x\sqrt{1 - x^2} + \operatorname{Arcsin}{x}\right),\ \lvert x\rvert < 1.$
      • 上述の公式を用いて導出する。
    • $\displaystyle S_n = \int_{0}^{\pi/2} \sin^n x \,\mathrm{d}x$ を用いた $\displaystyle \sqrt{\pi} = \lim_{n \to \infty} \frac{2^{2n} (n!)^2}{\sqrt{n}(2n)!}$ の導出。
      • $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{S_{2n+1}}{S_{2n}} = 1$
      • $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\sqrt{n}S_{2n+1} = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$
  • 広義積分
    • 積分区間 and/or 被積分関数が有界でないような定積分という理解でいい。
    • それゆえ収束・発散という観点がある。
    • Cauchy の判定条件（広義積分バージョン）：区間のタイプによって必要条件の表現が若干変わる。
    • 絶対収束するものは収束する。
    • 挟み撃ちによる収束性の判定も有効。
  • $\varGamma$ 関数
    • $\displaystyle \varGamma(s) = \int_0^\infty\mathrm{e}^{-x} x^{s-1} \,\mathrm{d}x,\ s > 0.$
    • 収束性の証明は、被積分関数が 0 に収束することを示す。定数 $s$ について場合分け。
    • $\varGamma(1) = 1.$
    • $\varGamma(s+1) = s\varGamma(s),\ s > 0$ が部分積分を考察することによりわかる。 特に $n \in \N \rightarrow \varGamma(n + 1) = n!$
  • 積分変数の変換
    • $\displaystyle \int_0^{\pi/2} \log{\sin{x}}\,\mathrm{d}x = -\frac{\pi}{2}\log{2}.$
    • $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{e}^{-x^2}\mathrm{d}x = \sqrt{\pi}.$
      • 偶関数であることに気をつける。
      • 証明には $x \ne 0 \rightarrow \mathrm{e}^x > 1 + x$ と先ほどの $S_{n}$ を利用する。
      • $x = \dfrac{\sqrt{t}}{2}$ と変換すると、見慣れたガウス分布の確率密度関数になる。