小平邦彦著『岩波講座基礎数学 解析入門 IV』より。 第 8 章は積分法の続き。一般の多変数関数を積分する。

  • §8.1 は陰関数定理と逆写像定理の一般の次元版について。
  • §8.2 は多変数関数の積分について。
  • §8.3 は変数変換について。累次積分と変数変換の公式を学ぶ。
  • (Th 8.1) 陰関数定理の 2 次元版
    • 本書での陰関数の定義は、$\varphi(y, x) = c$ の形に定義された $x$ の関数 $y$」のようなものになっている。
    • 定理の仮定中 $\varphi_y(y, x_0) \neq 0$ を見たら $\varphi_y \lessgtr 0,$ つまり、近傍を取り直せば単調関数となって逆写像定理が適用できることに気付きたい。

    • $y = f(x)$ の導関数の導出：

      \[\varphi(y + \varDelta y, x + \varDelta x) - \varphi(y, x) = 0.\\ \therefore 0 < \exists \theta < 1 \left( \varphi_y(y + \theta \varDelta y, x + \theta \varDelta x)\varDelta y + \varphi_x(y + \theta \varDelta y, x + \theta \varDelta x)\varDelta x = 0. \right)\]

      $u = \varphi(y, x)$ の連続性により、$\varDelta x \to 0$ のとき $\varDelta y \to 0.$

      \[\begin{aligned} \therefore \lim_{\varDelta x \to 0}\frac{\varDelta y}{\varDelta x} &= -\lim_{\varDelta x \to 0}\frac{\varphi_x(y + \theta \varDelta y, x + \theta \varDelta x)}{\varphi_y(y + \theta \varDelta y, x + \theta \varDelta x)}\\ &= -\frac{\varphi_x(y, x)}{\varphi_y(y, x)}. \end{aligned}\]
  • 一般の次元版の連続写像、連続微分可能写像、Jacobian の定義。
    • 以下、写像 $f$ の Jacobian 記号としてテキストで採用されているものに加えて $Df$ も使う。
  • 合成写像の Jacobian は、各写像の Jacobian の積に等しい。
  • $C^1$ 級写像に逆写像が存在してそれも $C^1$ 級であるならば、$D\varPhi \neq 0.$
  • 区間の一般の次元版の定義。
    • $n = 2$ のときだけ矩形と呼ぶことになる。
  • (L 8.1) 逆写像定理の $\R^n \longrightarrow \R^n$ 版。
    • 証明は (L 7.5) の変数 $v$ を例えば $x_1, \dotsc, x_{n - 1}$ に置き換えるだけで通る。
  • (Th 8.2) 陰関数定理の一般の次元版。
    • $D \subset \R^{n+1}$ を領域である。
    • 関数 $\varphi(y, x_1, \dotsc, x_n)\colon D \longrightarrow \R$ は $C^1$ 級である。
    • 点 $v^0 = (y^0, {x_1}^0, \dotsc, {x_n}^0) \in D$ において偏微分 $\varphi_y(v^0) \neq 0$ である。

    点 $u^0 = \varphi(v^0)$ とおくと、次が成り立つ：

    • $\exists \varepsilon > 0 \exists \varDelta(\varepsilon) > 0:$
      • $\lvert x_i - {x_i}^0\rvert < \varDelta(\varepsilon) (i = 1, \dotsc, n), \lvert y - y^0\rvert < \varepsilon \rightarrow$
        • $u^0 = \varphi(y, x_1, \dotsc, x_n)$ はただ一つの解 $y = f(x_1, \dotsc, x_n)$ を持つ。
        • 上記 $f$ は $x_1, \dotsc, x_n$ の $C^1$ 級関数である。
        • $\dfrac{\partial f}{\partial x_j} = -\dfrac{\varphi_{x_j}(y, x_1, \dotsc, x_n)}{\varphi_y(y, x_1, \dotsc, x_n)}.$
        • 写像 $\varphi$ が $C^r$ 級であるならば、関数 $f$ は $C^r$ 級である。

以下、次の記号を使う。

  • $u = (u_1, \dotsc, u_n) \in \R^n.$
  • $E \subset \R^n$ を領域とする。
  • 自然数 $m \le n.$
  • $\varphi_j(u)\quad(j = 1, \dotsc, n)$ は $C^1$ 級関数とする。
  • 写像 $\varPhi(x_1, \dotsc, x_m, u_{m + 1}, \dotsc, u_n) = (\varphi_1(u), \dotsc, \varphi_m(u), u_{m + 1}, \dotsc, u_n).$
\[D\varPhi_{(u^0)} = J(u_1, \dotsc, u_m, \dotsc, u_n) = \frac{\partial(\varphi_1(u), \dotsc, \varphi_m(u))}{\partial(u_1, \dotsc, u_m)}.\]
  • (L 8.2) (L 8.1) の開区間を近傍に拡張した版。
  • (Th 8.3) 一般の逆写像定理。(L 8.2) の $m = n$ 版であり (Th 7.12) の一般次元版。
    • $\varPhi\colon E \longrightarrow \R^n,$ $\varPhi(u) = x = (x_1, \dotsc, x_n) = (\varphi_1(u), \dotsc, \varphi_n(u))$ は $C^1$ 級写像である。
    • 点 $u^0 \in E$ において $D\varPhi_{(u^0)} \neq 0.$

    と仮定する。このとき次が成り立つ：

    • 近傍を取り直す、つまり $u^0 \in \exists U \subset E \exists W \in \R^n$ であって次が成り立つ：
      • $\varPhi\vert_U\colon U \longrightarrow W$ は全単射写像である。
      • 逆写像 $\varPhi^{-1}\vert_W: W \longrightarrow U$ は $C^1$ 級写像である。
  • (Note) (L 8.2) と (Th 8.3) は同値である。
  • (Note) (Th 8.3) の仮定で $C^1$ を $C^r$ あるいは $C^\infty$ とすると、結論も $C^r$ あるいは $C^\infty$ となる。
  • (Th 8.4) 陰関数の連立方程式における、解の存在およびその一意性
    • 当分使われないようなので省略。
  • 区間、容積、区間上の積分を定義する。
  • 基本的な性質：加法性、線形性、等々。(Th 7.1) と同じ。
  • 区間塊、分割、区間塊上の積分を定義する。そして (Th 7.5) と同じ性質がある。
  • 広義積分：領域 $D \subset \R^n$ 上の積分を定義する。
  • 有界閉領域上の積分：ここは注意を要する。いつでも積分可能なわけではない。Cantor の例を思い出すこと。
    • $n \ge 3$ 次元では容積確定指向で理論を組み立てる。
  • (Def 8.1) 容積ゼロ

    • 有界な集合 $S \subset \R^n$ が容積ゼロであるとは、次の条件をいい記号 $\omega(S) = 0$ で表す：

      \[\forall \varepsilon > 0 \exists A_\varepsilon \subset S \left( \omega(A_\varepsilon) < \varepsilon. \right)\]

      ここで $A_\varepsilon$ は区間塊である。

  • 容積ゼロの性質：
    • $\omega(S) = 0 \rightarrow \forall T \subset S (\omega(T) = 0.)$
    • $\omega(S) = 0 \rightarrow \omega(\overline{S}) = 0.$
    • $\omega(S) = \omega(T) = 0 \rightarrow \omega(S \cup T) = 0.$
      • 区間塊では劣加法性が成り立つから。
  • (Def 8.2) 容積確定
    • 有界閉領域 $D$ が容積確定であるとは、$\omega(\partial D) = \omega(\operatorname{int}D) = 0$ であることをいう。

    • 容積確定な $D$ における連続関数 $f$ の $D$ 上の広義積分を次で定義する：

      \[\def \fxdx {f(x_1, \dotsc, x_n)\,\mathrm{d}x_1 \dots \mathrm{d}x_n} \int_D\fxdx = \int_{\operatorname{int}D}\fxdx.\]
  • (Th 8.5) 有界閉領域 $D$ の有間個の分割上の積分の和と一致する。
    • (Th 7.7) の拡張版。
  • (Th 8.6) 容積確定な有界閉領域における積分の基本的性質
    • 省略。
  • 平均値の定理
    • 関数 $f$, $g$ が $K$ で連続である。
    • $K$ 上つねに $g > 0$ である。

    この仮定の下、次が成り立つ：

    \[\exists \varXi \in K \left(\int_Kf(P)g(P)\,\mathrm{d}\omega = f(\varXi)\int_Kg(P)\,\mathrm{d}\omega.\right)\]

    特に $g = 1$ とすれば：

    \[\exists \varXi \in K \left(\frac{1}{\omega(K)}\int_Kf(P)\,\mathrm{d}\omega = f(\varXi).\right)\]
  • (Th 8.7) $D$ の無数の分割上の積分の和
    • 絶対収束性を考慮する。