小平邦彦著『岩波講座基礎数学 解析入門 IV』より。 どのような有界閉領域が容積確定であるのかを見ていく。

  1. $\R^2$ 上の閉区域は OK だ。なぜなら初等曲線の面積がゼロであるから。(L 7.2) による。
  2. 初等曲面の体積はゼロである。このことから $\R^3$ 内の有界閉領域 $K$ の境界 $\partial K$ が有限個の初等曲面で覆われるならば、$K$ は体積確定である。
  3. $\R^3$ 内の滑らかな曲面 $S$ の体積はゼロである。
  4. 区分的に滑らかな曲面の体積はゼロである。よって、そのような境界を持つ有界閉領域 $K$ は体積確定である。
  5. 陰関数表示された滑らかな閉曲面 $S$ の体積はゼロである。よって、そのような境界を持つ有界閉領域 $K$ は体積確定である。
  6. いくつかの不等式が定める有界閉領域 $K$ については、体積確定である。
  7. $\R^n$ 内の有界閉領域について、上記のことが拡張できる。

ここでいくつかの概念を定義しておかねばならない：

  • 初等曲面とは、グラフ表示可能な連続関数 $\R^2 \longrightarrow \R$ である。
  • 滑らかな曲面とは、次のような集合 $S$ のことをいう：
    • $S = \lbrace (x, y, z) \mid x = \varphi(u, v), y = \psi(u, v), z = \xi(u, v), t, u \in T\rbrace,$
    • $T \subset G \subset \R^2$ において $T$, $G$ はそれぞれ有界閉領域、領域。
    • 関数 $\varphi, \psi, \xi$ は $T$ 上 $C^1$ 級であって、
    • $J(\varphi, \psi), J(\psi, \xi), J(\xi, \varphi)$ は同時にゼロとはならない。
  • 初等曲面や滑らかな曲面の一般の次元版。
  • 関数列と積分
  • 一様収束する連続関数列の極限関数は連続である。
  • (Th 8.8) Dini の定理： 有界閉集合 $K \subset \R^n$ 上での連続関数列 $\lbrace f_m(x_1, \dotsc, x_n)\rbrace$ が単調非増加かつ関数 $f(x_1, \dotsc, x_n)$ に収束するならば、それは一様収束である。

  • (Th 8.9) 順序交換の法則： $\R^n$ 内の容積確定な有界閉領域 $K$ で連続関数列 $\lbrace f_m(x_1, \dotsc, x_n)\rbrace$ が一様収束するならば、次が成り立つ：

    \[\def \fxdx {f_n(x_1, \dotsc, x_n)\,\mathrm{d}x_1 \dotsm \mathrm{d}x_n} \int_K\!\lim_{m \to \infty} \fxdx = \lim_{m \to \infty} \int_K\! \fxdx.\]
  • (Th 8.10) Arzelà の定理： $\R^n$ 内の容積確定な有界閉領域 $K$ で連続関数列 $\lbrace f_m(x_1, \dotsc, x_n)\rbrace$ が一様に有界であれば、次が成り立つ：
    • 極限関数は $C^0$ 級である。
    • (Th 8.9) の等式が成り立つ。
  • 積分記号下の微分積分
  • (Th 8.11) 順序交換法則
    • $K$ は容積確定な有界閉領域である。
    • $\alpha < \beta.$
    • $f(x_1, \dotsc, x_n, t)$ を $K \times {[\alpha, \beta]}$ 上有界な関数で、各変数について連続である。

    この仮定の下で次が成り立つ：

    • $\displaystyle F(t) = \int_Kf(x_1, \dotsc, x_n, t)\,\mathrm{d}x_1 \dotsm \mathrm{d}x_n$ は $[\alpha, \beta]$ 上 $C^0$ 級関数である。
    • $\displaystyle \int_\alpha^\beta f(x_1, \dotsc, x_n, t)\,\mathrm{d}t$ は $K$ 上 $C^0$ 級関数である。
    • 追加的仮定：
      • $f$ が $t$ について $C^0$ 級であり、
      • $K \times {[\alpha, \beta]}$ 上 $f_t \le M$ なる定数 $M$ が存在し、
      • $f_t$ が $x_1, \dotsc x_n$ について $C^0$ 級である

      とすれば、

      • $F(t)$ は $t$ についての $C^1$ 級関数であり、
      • $\displaystyle F’(t) = \int_K f_t(x_1, \dotsc, x_n, t)\,\mathrm{d}x_1 \dotsm \mathrm{d}x_n$
    • $\displaystyle \int_\alpha^\beta\left(\int_Kf(x_1, \dotsc, x_n, t)\,\mathrm{d}x_1 \dotsm \mathrm{d}x_n \right)\mathrm{d}t = \int_K\left(\int_\alpha^\beta f(x_1, \dotsc, x_n, t)\,\mathrm{d}t\right)\mathrm{d}x_1 \dotsm \mathrm{d}x_n.$
    • 系 $\displaystyle \varPhi(P, t) = \int_\alpha^t f(P, t)\,\mathrm{d}t$ は $K \times [\alpha, \beta]$ 上すべての変数について $C^0$ 級である。
      • 証明は $\lvert \varPhi(P, t) - \varPhi(P, \tau)\rvert \le M\lvert t - \tau\rvert$ とやって、 $\lvert \varPhi(P, t) - \varPhi(Q, \tau)\rvert$ の評価を考える。上記結論一項目の連続性を用いる。
  • 累次積分
  • $\R^n$ 内の区間上の $C^0$ 級関数の積分は、累次積分として表される。
  • (Th 8.12) 累次積分の公式？
    • $I_i = [a_i, b_i]$ を一次元区間とする。
    • $K = I_1 \times \dotsb \times I_n$, $H = I_1 \times \dotsb \times I_{n - 1}$ を区間とする。

    このとき次が成り立つ：

    \[\int_K\!f(P)\,\mathrm{d}x_1 \dotsm \mathrm{d}x_n = \int_{I_n}\!\int_{H}\!f(P)\,\mathrm{d}x_1 \dotsm \mathrm{d}x_{n - 1}.\]
    • 証明には (Th 8.11) を用いる。$H$ 上の積分は $x_n$ の $C^0$ 級関数なので、それに対して平均値の定理が使える。
  • (Th 8.13) グラフ曲線の下側の積分
    • $\psi(P)$ を $H$ 上 $C^0$ 級関数でありつねに $\psi(P) > a$ とする。
    • $K = \lbrace (P, t) \mid P \in H, t \in [a, \psi(P)]\rbrace$ とする。
    • $H = I_1 \times \dotsm I_n$ とする。

    このとき次が成り立つ：

    \[\int_K\!f(P, t)\,\mathrm{d}x_1 \dotsm \mathrm{d}x_n \mathrm{d}t = \int_H\!\mathrm{d}x_1 \dotsm \mathrm{d}x_n \int_a^{\psi(P)}\!f(P, t)\,\mathrm{d}t.\]

    特に：

    \[\omega(K) = \int_H\!(\psi(P) - a)\,\mathrm{d}x_1 \dotsm \mathrm{d}x_n.\]

    • 証明では「特に」のほうを先に示す。これは $\psi(P) - a$ の $H$ での積分の定義により従う。 次に定数 $b > \psi(P)$ を一つとり、次の $K$ 上の $C^0$ 級関数 $\tilde{f}(P, t)$ を考える：

      \[\tilde{f}(P, t) = \begin{cases} f(P, t), & \quad t \in [a, \psi(P)],\\ f(P, \psi(P)), & \quad t \in [\psi(P), b]. \end{cases}\]

      関数 $f$ を区間 $H \times [a, b]$ に $C^0$ 級を保ちつつ拡張して考える（このあとは比較的技巧的な推論になる）。

    • 系

      • $\varphi(P), \psi(P)$ を $H$ 上 $C^0$ 級関数である。
      • $P \in H \rightarrow \varphi(P) < \psi(P).$
      • $K = \lbrace (P, t) \mid P \in H, t \in [\varphi(P), \psi(P)]\rbrace$

      このとき次が成り立つ：

      \[\int_K\!f(P, t)\,\mathrm{d}x_1 \dotsm \mathrm{d}x_n \mathrm{d}t = \int_H\!\mathrm{d}x_1 \dotsm \mathrm{d}x_n \int_{\varphi(P)}^{\psi(P)}\!f(P, t)\,\mathrm{d}t.\]
  • (Th 8.14) 上記系で $H$ を容積確定な任意の有界閉領域に置き換えても成り立つ。
    • 証明方針：
      • $S = \lbrace (P, t) \mid P \in \partial{H}, t \in [\varphi(P), \psi(P)]\rbrace$ とおくと、 $\partial{K} = S \cup \lbrace (P, \varphi(P)) \mid P \in H\rbrace \cup \lbrace (P, \psi(P)) \mid P \in H\rbrace$ である。
      • 目標は $\omega(S) = 0$ を示したい。
      • $S \subset \partial{H} \times [\min{\varphi(P)}, \max{\psi(P)}]$ なので、右辺の $\omega(\cdot)$ をとるとゼロであることを示す。
      • あとは区間塊ベースの議論になる。被覆定理を用いる。

    • 特に $K$ の容積は次で得られる：

      \[\omega(K) = \int_H\!(\varphi(P) - \psi(P))\,\mathrm{d}x_1 \dotsm \mathrm{d}x_n.\]

      $\R^3$ のそれは記号を書き換えて：

      \[\begin{aligned} \omega(K) &= \int_K\! f(x, y, z)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z\\ &= \int_H\!\mathrm{d}x\mathrm{d}y\int_{\varphi(x, y)}^{\psi(x, y)}\! f(x, y, z)\,\mathrm{d}z\\ &= \int_H\!(\psi(x, y) - \varphi(x, y))\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y. \end{aligned}\]
  • (E 8.2) 球の体積
  • カバリエリの原理？：厚みが無限小のスライスを積分すると容積が得られるの法則。
    • 注意：$K$ が体積確定であってもスライスの面積が面積確定であるとは限らない。
    • 注意：さらにスライスが面積確定であっても、その上の積分が必ずしも定義されるとは限らない。$C^0$ 級かあやしい。
  • (E 8.3) 逆二乗則ポテンシャル
    • 点 $P(\rho, 0, 0)\ (\rho > 0)$ における半径 $R$ の球体 $K$ によるポテンシャルを求める。
    \[\newcommand{\fxyz}[1]{\frac{ {#1} }{\sqrt{(x - \rho)^2 + y^2 + z^2} } } \begin{aligned} \int_K\!\fxyz{\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z} &= \int_{-R}^{R}\!\mathrm{d}x\int_{K_x}\!\fxyz{\mathrm{d}y\mathrm{d}z}. \end{aligned}\]

    ただしスライスを $K_x = \lbrace (y, z) \mid y^2 + z^2 \le R^2 - x^2\rbrace$ とした。ここで変数変換：

    \[y = r\cos\theta, z = r\sin\theta; r^2 = t\]

    としてスライスを積分する。

    \[\begin{aligned} \int_0^{\sqrt{R^2 - x^2}}\!\int_0^{2\pi}\!\frac{r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta}{\sqrt{(x - \rho)^2 + r^2}} &= \pi\int_0^{\sqrt{R^2 - x^2}}\!\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{(x - \rho)^2 + t}}\\ &= 2\pi \left(\sqrt{(x - \rho)^2 + R^2 - x^2} - \sqrt{(x - \rho)^2}\right). \end{aligned}\]

    これを ${[{-R}, R]}$ で積分する。最後は絶対値を外すところで場合分けすればよい（球体の内外で式が違う）。