小平邦彦著『岩波講座基礎数学 解析入門 IV』より。 なんとか第 9 章まで読んだ。

  • 積分変数の変換
    • 当分次の記号を用いる（逆写像定理の条件を満たすようにしている）：
      • $P = (x_1, \dotsc, x_n) \in \R^n.$
      • 集合 $E \subset \R^n$, $D \subset \R^n$ を領域とする。
      • 写像 $\varPhi\colon E \longrightarrow D$ を座標変換とする。つまり：
        • $\varPhi(u) = x = (\varphi_1(u), \dotsc, \varphi_n(u))$ であり、各 $\varphi_j$ は $E$ 上 $C^1$ 級である。
        • $E$ 上 $D\varPhi_{u} \ne 0$ である。注：Jacobian の符号が一定であると言っている。
      • 関数 $f\colon D \longrightarrow \R$ を $C^0$ 級関数であるとする。
        • すると合成関数 $f \circ \varPhi\colon E \longrightarrow \R$ もまた$C^0$ 級関数である。

    • (Th 8.15) (Th 7.13) の類似命題

      \[\int_D\!{|f(P)|}\,\mathrm{d}x_1 \dotsm \mathrm{d}x_n = \int_E\!{|f(\varPhi(u))|}{|D\varPhi_u|}\,\mathrm{d}u_1 \dotsm \mathrm{d}u_n.\]

      左辺が収束するならば、次も成り立つ：

      \[\int_D\!f(P)\,\mathrm{d}x_1 \dotsm \mathrm{d}x_n = \int_E\!f(\varPhi(u)){|D\varPhi_u|}\,\mathrm{d}u_1 \dotsm \mathrm{d}u_n.\]

      証明は長い。概略は次のようなものだ：

      • Part 1: 仮に本定理が正しいものとすれば、$C^1$ 級写像 $\varPhi_1, \varPhi_2$ の合成写像 $\varPhi = \varPhi_2 \circ \varPhi_1$ もまた本定理が適用できることを示す。

      • Part 2: $\varPhi(u) = (\varphi_1(u), \dotsc, \varphi_m(u), u_{m+1}, \dotsc, u_m)$ 型の写像について成り立つことを $m$ に関する帰納法で示す。

        定義域 $E$ を無数の区間 $L_1, \dotsc$ に分割して、$K_1 = \varPhi(L_1), \dotsc$ とおく。 そして次の等式の証明に帰着させる：

        \[\int_{K_j}\!f(P)\,\mathrm{d}x_1 \dotsm \mathrm{d}x_n = \int_{L_j}\!f(\varPhi(u)){|D\varPhi_u|}\,\mathrm{d}u_1 \dotsm \mathrm{d}u_n.\]
      • Part 3: $\varPhi_1(u) = (u_1, \varphi_2(u), \dotsc, \varphi_m(u), u_{m+1}, \dotsc, u_m)$ 型の写像について。
        • $\varPsi = \varPhi \circ {\varPhi_1}^{-1}$, $\varPhi = \varPsi\circ\varPhi_1$ に対して Part 1 および帰納法の仮定より OK とする。
          • $\varPsi(u_1, x_2 = \varphi(u_2), x_m = \varphi(u_m), x_{m+1}, \dotsc, x_n) = (\psi(u_1, x_2, \dotsc, x_n), x_2, \dotsc, x_n)$ と書ける。
        • $\varPhi_j(u) = (u_1, \dotsc, u_j, \dotsc, \varphi_m(u), u_{mL1}, \dotsc, u_n)$ 型についても同様にして OK とする。
      • Part 4: 一般の場合。さっき「帰着させる」といった式を証明する。ここが低水準。
    • (Th 8.16) $n$ 重積分の変数変換の公式
      • $K \subset D$ を区分的に滑らかな境界をもつ有界閉領域とする。
      • $f$ を $K$ 上の $C^0$ 級関数とする。

      このとき次が成り立つ：

      \[\int_K\!f(P)\,\mathrm{d}x_1 \dotsm \mathrm{d}x_n = \int_{\varPhi^{-1}(K)}\!f(\varPhi(u)){|D\varPhi_u|}\,\mathrm{d}u_1 \dotsm \mathrm{d}u_n.\]
    • (Th 8.17) (Th 8.16) の仮定は少し緩められる。
      • $\varPhi$ の全単射性は、高々有限個の点において成り立たなくてもかまわない。
      • 定義域が区分的に滑らかな境界をもつ閉領域に分割できて、それぞれの閉領域の内部で仮定を満たしていれば成り立つ。
    • (E 8.4) $n$ 次元アフィン変換
      • アフィン変換を表す行列を $A$ とすると、座標変換の Jacobian は $D\varPhi = \det{A}.$
      • 変換前後で容積が $\det{A}$ 倍になる。
      • 変換が回転と平行移動しか表現していないならば、容積は変換によって不変である。

    • (E 8.5) 極座標

      \[\begin{aligned} &\varPhi(r, \theta, \varphi) = (x, y, z) = (r\sin\theta\cos\varphi, r\sin\theta\sin\varphi, r\cos\theta).\\ &D\varPhi = \begin{vmatrix} \sin\theta\cos\varphi & r\cos\theta\cos\varphi & -r\sin\theta\sin\varphi \\ \sin\theta\sin\varphi & r\cos\theta\sin\varphi & r\sin\theta\cos\varphi \\ \cos\theta & -r\sin\theta & 0 \end{vmatrix} = r^2\sin\theta. \end{aligned}\]
      • $\varOmega = (0, \infty) \times [0, \pi] \times \R$ においてつねに $D\varPhi > 0.$

      • $\varPhi$ は $\varOmega$ 全域では全単射ではない。 領域 $D$, $\varPhi^{-1}(D)$ が $\varOmega$ に存在して、そこで全単射であるようならば次が成り立つ（左辺は絶対収束するものとする）：

        \[\int_D\!f(x, y, z)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z = \int_{\varPhi^{-1}(D)}\!f(\varPhi(r, \theta, \varphi))r^2 \sin\theta\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta\mathrm{d}\varphi.\]
      • $\R^3$ での球における積分は容易に累次積分化できる（略）。 さらに、絶対収束する限りは積分の $r$ の上端を $R \to \infty$ としてよい。
        • 先ほどのポテンシャル計算は、このやり方でも求まる。
    • (E 8.6) 超球の容積
      • $D = \lbrace (x, y, z) \mid x > 0, y > 0, z > 0, x + y + z < 1\rbrace.$
      • $f(x, y, z) = (1 - x - y - z)^{p-1}x^{q-1}y^{r-1}z^{s-1},\quad p > 0, q > 0, r > 0, s > 0.$

      まず、変数変換を次のようにする：

      \[u = x + y + z, v = \frac{y + z}{x + y + z}, w = \frac{z}{y + z}.\]

      すると $x = u(1 - v), y = uv(1 - w), z = uvw$ となり、変数変換 $\varPhi$ は $E = \lbrace (u, v, w) \mid u, v, w \in (0, 1)\rbrace$ から $D$ への $C^1$ 級全単射写像である。 そして Jacobian は $D\varPhi = u^2v$ であり $D$ 上つねに正である。

      \[\newcommand{\dd}[1]{} \newcommand{\func}[3]{(1-{#1})^{ {#2}-1 } {#1}^{ {#3}-1} } \newcommand{\betafunc}[3]{ {\int_0^1\! \func{#1}{#2}{#3}\,\mathrm{d}{#1} } } \begin{aligned} \int_D\!f(x, y, z)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z &= \int_E\!f(u(1 - v), uv(1 - w), uvw)u^2v\,\mathrm{d}u\mathrm{d}v\mathrm{d}w\\ &= \int_E\! \func{u}{q}{q+r+s} \func{v}{q}{r+s} \func{w}{s}{r}\,\mathrm{d}u\mathrm{d}v\mathrm{d}w\\ &= \betafunc{u}{p}{q+r+s} \betafunc{v}{q}{r+s} \betafunc{w}{s}{r}\\ &= \frac{\varGamma(p)\cancel{\varGamma(q + r + s)}}{\varGamma(p + q + r + s)} \frac{\varGamma(q)\cancel{\varGamma(r + s)}}{\cancel{\varGamma(q + r + s)}} \frac{\varGamma(r)\varGamma(s)}{\cancel{\varGamma(r + s)}}\\ &= \frac{\varGamma(p)\varGamma(q)\varGamma(r)\varGamma(s)}{\varGamma(p + q + r + s)}. \end{aligned}\]

      これは $n$ 変数に拡張できる。

      ここからが本題。

      • $K = \lbrace (\xi_1, \dotsc, \xi_n \mid \xi_1^2 + \dotsb + \xi_n^2 \le R^2\rbrace$
      • $\Delta$ を各座標平面により $2^n$ 個の閉領域に分割した $K$ の部分の一つとする。
      • $\varPhi(x_1, \dotsc, x_n) = (R\sqrt{x_1}, \dotsc, R\sqrt{x_n})$ を変数変換とする（公式の仮定を満たしている）。

      Jacobian を計算するとこうなる： $\displaystyle D\varPhi = \frac{R^n}{2^n \sqrt{x_1 \dotsm x_n}}.$

      よってパーツおよび元の超球の容積は次のように書ける：

      \[\begin{aligned} \omega(\Delta) &= \int_\Delta\!\mathrm{d}\xi_1 \dotsm \mathrm{d}\xi_n\\ &= \frac{R^n}{2^n} \int_D \! x_1^{-1/2} \dotsm x_n^{-1/2}\,\mathrm{d}x_1 \dotsm \mathrm{d}x_n\\ &= \frac{R^n}{2^n} \frac{\varGamma(1)\varGamma(1/2)^2}{\varGamma(1 + n/2)}.\\ \therefore \omega(K) &= 2^n \omega(\Delta) = R^n \frac{\varGamma(1/2)^n}{\varGamma(1 + n/2)}. \end{aligned}\]

      $\varGamma(1/2) = \sqrt{\pi}$ は別途計算して求める。以下略。