小平邦彦著『岩波講座基礎数学 解析入門 IV』より。

§9.1 曲線：定義と長さ

  • （暫定）曲線とは、$\R^n$ の集合であり、区間 $[a, b]$ で定義された $C^0$ 級関数 $\varphi_k\colon [a, b] \longrightarrow \R\ (k = 1, \dotsc, n)$ によって $\lbrace (\varphi_1(t), \dotsc, \varphi_n(t)) \mid t \in [a, b] \rbrace$ と表されるものである。
    • 曲線 $C$ が Jordan 曲線であるとは、写像 $\gamma(t) = (\varphi_1(t), \dotsc, \varphi_n(t))$ が $C^0$ 級かつ単射であるときに $C = \gamma([a, b])$ であるものをいう。
    • 曲線 $C$ が閉曲線であるとは、曲線の写像 $\gamma$ が $\gamma(a) = \gamma(b)$ をみたすものをいう。
    • 曲線 $C$ がJordan 閉曲線であるとは、
      • 曲線の写像 $\gamma$ が $[a, b)$ で Jordan 曲線であり、
      • 閉曲線であるものをいう。
    • 曲線 $C$ が $C^1$ 級の曲線であるとは、各 $\varphi_k$ が $[a, b]$ において $C^1$ 級関数であるものをいう。
    • 曲線 $C$ が滑らかであるとは、
      • $C$ が $C^1$ 級の曲線であり、
      • かつ ${\varphi_k}’(t)$ が一斉にゼロとはならないものをいう。

  • 曲線 $C$ 点 $\gamma(c)$ における接線とは、次で定義される集合である：

    \[\{(\varphi_1(c) + t{\varphi_1}'(c), \dotsc, \varphi_n(c) + t{\varphi_n}'(c) \mid t \in \R\}.\]
  • 曲線のパラメーター表示は一意的ではない。単調増加な $C^0$ 級関数を合成すればいい。

  • Jordan 曲線の性質は単調増加な $C^0$ 級関数を使った変数変換によって損なわれない： $t = \lambda(\tau), \lambda’(\tau) > 0 \rightarrow (\varphi_k(\lambda(\tau)))’ = \varphi_k’(t)\lambda’(\tau) > 0.$

  • (Def 9.1) Jordan 曲線の長さ
    • 区間 $[a, b]$ の分割 $\Delta = \lbrace t_0, t_1, \dotsc, t_m\rbrace,\quad a = t_0 < t_1 < \dotsb < t_n = b$ を任意に取る。
    • 分割の像で折れ線を結び、それを $l_\Delta$ とおく。その長さは $\displaystyle \sum_{k=1}^m \lvert P(t_{k-1})P(t_k)\rvert$ である。

    • すべての分割 $\Delta$ について $l_\Delta$ が有界であるとき、曲線 $C$ は次で定められる長さ $l(C)$ を持つという：

      \[l(C) = \sum_{\Delta}l_\Delta.\]

  • (Th 9.1) $C^1$ 級 Jordan 曲線の長さの公式

    \[l(C) = \int_a^b\! \sqrt{\sum_{k = 0}^m \varphi_k'(t)}\,\mathrm{d}t.\]

    証明：

    1. $\delta[\Delta] = \max_k{t_k - t_{k - 1}}.$

    2. 平均値の定理によると $\exists \tau_{kj} (\varphi_j(t_k) - \varphi_j(t_{k - 1}) = (t_k - t_{k - 1})\varphi_j’(\tau_{kj}), \tau_{kj} \in (t_{k -1}, t_k)).$ よって

      \[l_\Delta = \sum_{k = 1}^m \sqrt{\sum_{j = 1}^n \varphi_j'(\tau_{kj})^2} (t_k - t_{k - 1}).\]

    3. 各導関数 $\varphi_j’(t)$ は一様連続である：

      \[\forall \varepsilon > 0 \exists \delta(\varepsilon) > 0 \left( {|t - s|} < \delta(\varepsilon) \rightarrow {|\varphi_j'(t) - \varphi_j'(s)|} < \varepsilon,\quad(j = 1, \dotsc, n) \right)\]

      $\delta[\Delta] < \delta(\epsilon)$ のとき $t \in [t_{k - 1}, t] \rightarrow \lvert\tau_{kj} - t\rvert < \delta(\varepsilon).$ ゆえに $\lvert \varphi_j’(\tau_{kj}) - \varphi_j’(t)\rvert < \varepsilon.$

    4. 三角不等式より次が成り立つ：

      \[{\left\lvert\sqrt{\sum \varphi_j'(\tau_{kj})^2} - \sqrt{\sum \varphi_j'(t)^2}\right\rvert} < 2\varepsilon.\]

    5. 前述 2. より折れ線の長さはこう書ける：

      \[l_\Delta = \sum_{k=1}^m \int_{t_{k-1}}^{t_k}\! \sqrt{\sum \varphi_j'(\tau_{kj})^2} \,\mathrm{d}t.\]

    6. 前述 4. と 5. より

      \[\begin{aligned} \left\lvert l_\Delta - \int_a^b \! \sqrt{\sum \varphi_j'(\tau_{kj})^2} \,\mathrm{d}t\right\rvert &= \left\lvert\sum_{k=1}^m \int_{t_{k-1}}^{t_k}\! \left( \sqrt{\sum \varphi_j'(\tau_{kj})^2} - \sqrt{\sum \varphi_j'(t)^2} \right)\,\mathrm{d}t\right\rvert\\ &\le \sum_{k=1}^m \int_{t_{k-1}}^{t_k}\! \left\lvert \sqrt{\sum \varphi_j'(\tau_{kj})^2} - \sqrt{\sum \varphi_j'(t)^2} \right\rvert\,\mathrm{d}t\\ &\le 2\varepsilon. \end{aligned}\]

      よって $\delta[\Delta] \to 0$ のとき $l_\Delta$ は $[a, b]$ の積分に収束する。

    7. $\Delta \subset \Delta’ \rightarrow l_\Delta \le l_{\Delta’}$ から $\Delta$ を $\delta(\Delta) < \delta(\varepsilon)$ である分割に置き換えても上限は変わらない。 つまり 6. の左辺の $l_\Delta$ を $\sup l_\Delta$ に置き換えても評価は成り立つ。 あとは $\varepsilon > 0$ をいくらでも小さくとれるから、与えられた式が成り立つ。
  • (E 9.1) コッホ曲線？：長さをもたない Jordan 曲線の例を与える。
    • この底角が 30 度の二等辺三角形の中央から正三角形を再帰的にくり抜いていく手順を理解すること。
    • $[0, 1]$ がどのように曲線上に対応しているのかを言えるようにすること（二進法）
  • パラメーターの変換は（例によって単調増加関数を使う）曲線の長さを変えない。

  • 弧長パラメーター：平たく言えば、$C^1$ 級 Jordan 曲線のパラメーターを始点からそこまでの部分曲線の長さとするパラメーターのとり方をいう。

    \[s(t) = \int_a^t\! \sqrt{\sum \varphi_j'(t)}\,\mathrm{d}t.\]
    • 曲線が滑らかであるときは、$s$ に変換した曲線のパラメーター表示は $s$ の $C^1$ 級関数である。
  • (E 9.2) $\displaystyle C = \left\lbrace\left.\left(t^3\cos\frac{2\pi}{t}, t^3\sin\frac{2\pi}{t}\right) \right\vert\left. t \in (0, 1]\right.\right\rbrace$
    • 原点において接線が定まらないことに注意。
    • パラメーターを弧長に変えると $C^1$ 級にならない。
  • (E 9.3) $C: x^{2/3} + y^{2/3} = 1$ (asteroid)
    • これは $C^1$ 級 Jordan 曲線であるが、滑らかではない。
  • (E 9.4) $C = \left\lbrace \left.\left(-\cos{2t}, -\dfrac{1}{3}\cos{3t}\right) \right\vert\left. t \in [0, \pi]\right.\right\rbrace$
    • これは $C^1$ 級曲線であるが、一箇所で自己交差している。
    • しかし、その交差点で曲線を分割すれば、それぞれの部分は滑らかな $C^1$ 級曲線となる。 ということは、高々有限個の点を除いて Jordan 曲線であるような曲線は、上の公式で長さを求めることができる。
  • (Def 9.2) 曲線：$I = [a, b]$ から $\R^n$ への $C^0$ 級写像 $\gamma(t) = (\varphi_1(t), \dotsc, \varphi_n(t))$ を曲線と呼ぶ。
    • 各 $\varphi_j(t)$ が $C^1$ 級のときに、$\gamma$ は $C^1$ 級の曲線であるという。
    • さらに $I$ 上つねに $\varphi_j’(t)$ が同時にゼロにならないならば、$\gamma$ は滑らかであるという。
    • このような曲線の長さは (Def 9.1) で求まるとしてよい。

§9.2 曲面の面積

  • 曲面の面積の定義は、曲線の長さのそれのようにはできない。有名な事実。
  • (Def 9.3) 滑らかな初等曲面
    • $z = f(x, y)$ を $C^1$ 級関数である。
    • $x \in [a, b]$, $y \in [c, d].$
    • $f_x$ と $f_y$ は同時にはゼロにならない。

    この要件を満たす関数が表す曲面 $S$ の面積 $A(S)$を次で定義する：

    \[A(S) = \int_a^b\!\int_c^d\!\sqrt{1 + f_x(x, y)^2 + f_y(x, y)^2}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y.\]
  • (Th 9.2) 定義域の三角分割
    • ここに書き切れない。平面領域を三角形で細分するときに、三角形の各内角の正弦に制限が要るというのが趣旨。
  • (E 9.5) 放物線を押し出して得られる曲面の面積について、上記のように細分をしないと極限が確定しないという例示。
  • 滑らかな初等曲面でないと面積が確定しないという制限は（今まで見てきたように）緩められる。
  • 滑らかな Jordan 曲面とは、次の条件を満たす写像 $\varPsi(u, v) = (x, y, z) = (\varphi(u, v), \psi(u, v), \xi(u, v))$ の像 $S = \varPsi(H)$ のことをいう。
    • $H$ は $\R^2$ 上の区分的に滑らかな境界をもつ閉領域である。
    • $\varphi, \psi, \xi$ はある領域 $E \supset H$ 上で $C^1$ 級関数であり。
    • $\partial(\varphi, \psi)/\partial(u, v)$ 等が同時にゼロにならない。

  • (Def 9.4) 滑らかな Jordan 曲面の面積

    \[A(S) = \int_H\!\sqrt{ \begin{vmatrix} \varphi_u & \varphi_v\\ \psi_u & \psi_v \end{vmatrix}^2 + \begin{vmatrix} \psi_u & \psi_v\\ \xi_u & \xi_v \end{vmatrix}^2 + \begin{vmatrix} \xi_u & \xi_v\\ \varphi_u & \varphi_v \end{vmatrix}^2 }\,\mathrm{d}u\mathrm{d}v.\]

    • 例によってある程度条件を緩められる。滑らかでなくとも、初等曲面として書け、定義域が閉領域であって $K$ 上 $C^0$ 級、$\operatorname{int}K$ 上 $C^1$ 級で $\operatorname{int}K$ を $\operatorname{int}H$ に移す全単射 $varPhi = \varpi \circ \varPsi$ があれば次が成り立つ：

      \[A(S) = \int_{\operatorname{int}K}\!\sqrt{1 + f_x(x, y)^2 + f_y(x, y)^2}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y.\]
  • (Th 9.3) (Th 9.2) の $H$ が矩形＆滑らかな Jordan 曲面の場合
  • パラメーター表示に依らないのも同じ。証明はわりと長い。
  • 区分的に滑らかな曲面を滑らかな Jordan 曲面に分割する。 元の曲面の面積は分割後の Jordan 曲面の面積の和である。これも分割の仕方に依らない。
  • (E 9.6) 球面の面積
    • $S = S^{+} \cup S^{-}$ と分割すれば、片割れに定理を適用できる。
    • ステレオグラフ
  • (E 9.7) 上記 $S^{+}$ のうちの $K = \lbrace (x, y) \mid (x - R/2)^2 + y^2 \le R^2/4\rbrace$ に対応する部分の面積

    • 次のように関数 $E(u, v), F(u, v), G(u, v)$ を定義すると、曲面の面積の式を覚えやすい：

      \[\begin{aligned} E(u, v) &= \varphi_u(u, v)^2 + \psi_u(u, v)^2 + \xi_u(u, v)^2,\\ F(u, v) &= \varphi_u(u, v) \varphi_v(u, v) + \psi_u(u, v) \psi_v(u, v) + \xi_u(u, v) \xi_v(u, v),\\ G(u, v) &= \varphi_v(u, v)^2 + \psi_v(u, v)^2 + \xi_v(u, v)^2.\\ &\\ A(S) &= \int_H\!\sqrt{E(u, v) G(u, v) - F(u, v)^2}\,\mathrm{d}u\mathrm{d}v. \end{aligned}\]
  • (E 9.8) 回転面
    • 曲線 $C = \lbrace (\varphi(u), \psi(u)) \mid u \in [a, b]\rbrace,\ \psi(u) > 0$ を $x$ 軸のまわりに一回転した軌跡を $S$ とする。
    • $S = \lbrace \varPsi(u, \theta) \mid u \in [a, b], \theta \in [0, 2\pi]\rbrace,$
    • $\varPsi(u, \theta) = (\varphi(u), \psi(u)\cos\theta, \psi(u)\sin\theta).$

    回転面の面積は次で与えられる：

    \[\begin{aligned} A(S) &= \int_{S_1}\!\mathrm{d}u\mathrm{d}v + \int_{S_2}\!\mathrm{d}u\mathrm{d}v\\ &= 2\pi\int_a^b\! \psi(u)\sqrt{\varphi'(u)^2 + \psi'(u)^2}\,\mathrm{d}u. \end{aligned}\]
  • 回転楕円体の表面積
    • ポイント：$y = \pm c\sqrt{1 - x^2/a^2}$,
    • $\varphi(u) = u,$
    • $\psi(u) = c\sqrt{1 - u^2/a^2}.$
    • $\displaystyle A(S) = 2\pi c\int_{-a}^a\sqrt{1 - \frac{a^2 - c^2}{a^2}u^2}\,\mathrm{d}u$ は $\operatorname{Arcsin}$ 系。 変数置換は $t = \dfrac{\sqrt{a^2 - c^2}}{a^2}u$ とする。
  • トーラスの表面積
    • $0 < \rho < c,$
    • $\varphi(u) = \rho\sin{u},$
    • $\psi(u) = c + \rho\cos{u},$
    • $S = \lbrace (\varphi(u, v), \psi(u, v) \mid u, v \in [0, 2\pi]\rbrace.$
    \[\begin{aligned} A(S) &= 2\pi\int_0^{2\pi}\! (c + \rho \cos u)\sqrt{(\rho \cos u)^2 + (-\rho \sin u)^2}\,\mathrm{d}u\\ &= 2\pi \rho \int_0^{2\pi}\! (c + \rho \cos u)^2\,\mathrm{d}u\\ &= 4\pi^2 \rho c. \end{aligned}\]