小平邦彦著『岩波講座基礎数学 解析入門 I』『IV』より。 巻末の問題を解いてみる。本書に解答の類は一切ない。

  • 第 1 問：無理数が稠密なこと
    • $\beta < \gamma$ を無理数とし、その十進数展開をそれぞれ考え、両者の間にある無理数を構築する方法で証明しようと思う。
    • 循環しない無限小数が無理数であることをもちろん利用する。
  • 第 2 問：実数の三角不等式
    • 高校数学の問題。両辺を平方したものの差をとると $2(\lvert \alpha\beta\rvert - \alpha\beta)$ となる。 $\alpha$, $\beta$ が非ゼロかつ異符号のときのみ、不等号が成立する。
  • 第 3 問：$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{a_1 + \dotsb + a_n}{n} = \lim_{n \to \infty} a_n$
    • 最初から $\lim a_n = 0$ と仮定してもかまわない： $\forall \varepsilon > 0 \exists n_0(\varepsilon) \in \N (n > n_0(\varepsilon) \rightarrow \lvert a_n\rvert < \varepsilon.)$

    • $n_0 \le n_0(\varepsilon) < n_0 + 1$ として：

      \[\begin{aligned} \left\lvert\sum_{k = 1}^n \frac{a_k}{n}\right\rvert &= \frac{1}{n}\left\lvert\sum_{k = 1}^{n_0}a_k + \sum_{k = n_0 + 1}^n a_k\right\rvert\\ &\le \frac{1}{n}\sum_{k = 1}^{n_0}{|a_k|} + \frac{n - n_0}{n}\varepsilon\\ &< \frac{1}{n}\sum_{k = 1}^{n_0}{|a_k|} + \varepsilon. \end{aligned}\]
    • もっときれいに評価できないか？
  • 第 4 問：$\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{n^2} < 2$

    • $n > 3$ のとき $n^2 \le 2^n$ が成り立つことを利用する：

      \[\begin{aligned} \sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{n^2} &= 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \sum_{n = 4}^\infty \frac{1}{n^2}\\ &< 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{8}\\ &< 2. \end{aligned}\]

    • あるいは $\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{n^2} < \int_2^\infty\frac{\mathrm{d}x}{(x - 1)^2}$ を利用することも考えられる。 ただし本問は積分というより、評価の練習なので上の方法でいきたい。

  • 第 5 問：上に有界な数列は、その上極限に収束する部分列を含む
    • Th 1.30 のように部分列を構成していく。
    • $\varepsilon$ を順次刻んでいき、有効な番号のもっとも小さいものを取っていく。
  • 第 6 問：第 5 問を利用して「有界点列が集積点に収束する部分点列を含む」
    • 点の各成分において収束する部分列をそれぞれとる。
    • 両者をうまく併合して与えられた点列の部分点列となるようにするのだろう。番号の選び方を記述するのが面倒そうだ。
  • 第 7 問：三角不等式の $n$ 次元版
    • 先程書いたようにすると、Schwarz の不等式と同値になる？
  • 第 8 問：相加平均と相乗平均の収束
    • $a > b > 0$ を与えられた実数とする。
    • $a_1 = (a + b)/2,\ b_1 = \sqrt{ab}.$
    • $a_n = (a_{n - 1} + b_{n - 1})/2,\ b_n = \sqrt{a_{n-1}b_{n-1}},\quad(n = 2, \dots)$

    このときの両者の極限は一致する： 両辺の $\lim$ をとればいい。

  • 第 9 問：Newton 法？
    • $a > 0.$
    • $\displaystyle a_1 = \frac{1}{2}\left(a + \frac{2}{a}\right),\ a_n = \frac{1}{2}\left(a_{n-1} + \frac{2}{a_{n-1}}\right),\quad(n = 2, \dots)$

    このとき $a_n \to \sqrt{2}\ (n \to \infty)$ である。

    • 全問と同様の手法で極限がわかる。
  • 第 10 問：$\sqrt[n]{n} \to 1 \ (n \to \infty)$
    • ヒントに従い $n \ge 3 \rightarrow \sqrt[n]{n} \ge \sqrt[n+1]{n+1}$ を示す（単調減少列）。
      • 高校数学レベルの微分は使っていいということだろう。$y = \sqrt[x]{x}$ とおくと $\displaystyle \log\dfrac{y’}{y} = \dfrac{1 - \log x}{x^2}$ だから $\displaystyle y’ = \dfrac{1 - \log x}{x^2} \sqrt[x]{x}.$ よって $x \ge \mathrm{e}$ のとき減少。

    • 下に有界であるので収束する。具体的には：

      \[\begin{aligned} \sqrt[n]{n} &\ge \sqrt[n+1]{n+1}\\ n \cdot \sqrt[n]{n} &\ge n + 1\\ n(\sqrt[n]{n} - 1) &\ge 0\\ \therefore \sqrt[n]{n} &\ge 1. \end{aligned}\]
    • $\dfrac{\log n}{n} \to 1$ を使っていいのなら、数列 $\lbrace \log\sqrt[n]{n}\rbrace$ を考えるほうが早い。