小平邦彦著『岩波講座基礎数学 解析入門 I』『II』『IV』より。 第 3 章微分法の問題を解く。今日はそれほどひどいことにならずに済んだ。

  • 第 21 問： $x^n\ (n \in \N)$ の導関数を直接計算で。
    • 高校数学レベルの問題。しかもかなり基本的なもの。
  • 第 22 問： Rolle の定理の拡張。区間が ${[a, \infty)}$ のケース。
    • 定数関数の場合は明らか。以下、そうでない関数を扱う。
    • $f(a) < f(b)$ または $f(a) > f(b)$ を満たす点 $b$ が存在する。どちらでも同様なので前者を仮定する。
    • $\displaystyle \lim_{x \to \infty}f(x) = f(a)$ より、$\forall \varepsilon > 0 \exists K(\varepsilon) > a (\forall x > K(\varepsilon) \rightarrow \lvert f(x) - f(a)\rvert < \varepsilon.)$
    • $\varepsilon = (f(b) - f(a))/2$ とすると、
      • $f(a^\prime) = \varepsilon$ となる点 $a^\prime \in (a, b)$ が連続関数の性質によって存在する。
      • $f(b^\prime) = \varepsilon$ となる点 $b^\prime \in {(b, K(\varepsilon)]}$ が存在する。

      閉区間 ${[a^\prime, b^\prime]}$ において Rolle の定理より $\exists \xi \in {[a^\prime, b^\prime]} \subset [a, \infty) (f^\prime(\xi) = 0.)$

  • 第 23 問： l^\primeHôpital の定理
    • 関数 $f(x), g(x)$ は区間 ${[a, b)}$ で $C^0$ 級であり、区間 $(a, b)$ で $C^1$ 級である。
    • $f(a) = f(b).$
    • $g^\prime(x) \ne 0.$
    • $\displaystyle l = \lim_{x \to +a}\frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}$ が存在する。

    この仮定により、まず平均値の定理を用いる：

    \[\begin{aligned} f(a + h) &= f(a) + hf^\prime(a + \theta_1 h), & 0 < \theta_1 < 1,\\ g(a + h) &= g(a) + hg^\prime(a + \theta_2 h), & 0 < \theta_2 < 1.\\ \end{aligned}\]

    あとは計算するだけで示せる：

    \[\begin{aligned} \lim_{x \to +a}\frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)} &= \lim_{h \to +0}\frac{f(a + h)}{g(a + h)}\\ &= \lim_{h \to +0}\frac{\cancel{f(a)} + hf^\prime(a + \theta_1 h)}{\cancel{g(a)} + hg^\prime(a + \theta_2 h)}\\ &= \lim_{h \to +0}\frac{\cancel{h}f^\prime(a + \theta_1 h)}{\cancel{h}g^\prime(a + \theta_2 h)}\\ &= \lim_{h \to +0}\frac{f^\prime(a + \theta_1 h)}{g^\prime(a + \theta_2 h)}\\ &= \frac{f^\prime(a + 0)}{g^\prime(a + 0)}\\ &= l. \end{aligned}\]
    • 後日気づいたが、Cauchy の平均値の定理を採用すれば手間が省ける。
  • 第 24 問：極限問題
    • $a > 0, b > 0.$
    • $f(x) = \left(\dfrac{a^x + b^x}{2}\right)^{\frac{1}{x}}$

    $g(x) = \log{f(x)}$ とおいて（これは許される）その対応する極限を計算する。 途中の等号（微分が出てくる行）は第 23 問の結果による。

    \[\begin{aligned} \lim_{x \to 0}g(x) &= \lim_{x \to 0}\log{\left(\dfrac{a^x + b^x}{2}\right)^{\frac{1}{x}}}\\ &= \lim_{x \to 0}\frac{1}{x}\log{\dfrac{a^x + b^x}{2}}\\ &= \lim_{x \to 0}\frac{\log{\dfrac{a^x + b^x}{2}}}{x}\\ &= \lim_{x \to 0}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\log{\dfrac{a^x + b^x}{2}}\\ &= \lim_{x \to 0}\frac{a^x \log a + b^x \log b}{a^x + b^x}\\ &= \frac{\log a + \log b}{2}. \end{aligned}\]

    よって求める極限は $\displaystyle \exp\left(\lim_{x \to 0}g(x)\right) = \sqrt{ab}.$

  • 第 25 問： $x - \cos{x} = 0$ はただ一つの解を持つ
    • 意外にわからない。
  • 第 26 問： Hermite 多項式
    • $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}^nx} \mathrm{e}^{-x^2} = (-1)^n H_n(x) \mathrm{e}^{-x^2}.$
    • $H_1(x) = -2x$ は直接計算で示す。
    • $H_2(x) = -2 + 4x^2$ も直接計算で示す。
    • $H_n(x)$ が $n$ 次多項式になることは、帰納法で示す。
      • $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}^nx} \mathrm{e}^{-x^2}$ が $\displaystyle \sum_{k = 0}^n a_k x^k \mathrm{e}^{-x^2}$ と表せると仮定する。
    • 代数方程式 $H_n(x) = 0$ が相異なる $n$ 個の実根を有することを証明する方法が思いつかない。

  • 第 27 問：平均値の定理

    \[\begin{aligned} f(x + h) - f(x) &= h f^\prime(x + \theta_1 h).\\ f(x + h) - f(x) &= h f^\prime(x) + \frac{h^2}{2}f^{\prime\prime}(x + \theta_2 h).\\ \therefore \frac{h^2}{2}f^{\prime\prime}(x + \theta_2 h) &= h(f^\prime(x + \theta_1 h) - f^\prime(x)).\\ \therefore \lim_{h \to 0}\frac{f^\prime(x + \theta_1 h) - f^\prime(x)}{\theta_1 h} &= \lim_{h \to 0}\frac{f^{\prime\prime}(x + \theta_2 h)}{2\theta_1}\\ &= \lim_{h \to 0}\frac{1}{2 \theta_1} f^{\prime\prime}(x).\\ \therefore \lim_{h \to 0}\theta_1 = \frac{1}{2}. \end{aligned}\]
  • 第 28 問： Newton 法の成立することの証明
    • 今まで思いついたこともなかった。
  • 第 29 問：凸関数
    • $f(x)$ は区間 ${[a, b]}$ で $C^3$ 級、$f^{\prime\prime}(x) > 0.$
    • 数列 $\lbrace x_k\rbrace\ (k = 1, \dotsc, n)$ はこの区間内の任意の数をとる。

    このとき次が成り立つ：

    \[f\left(\!\frac{x_1 + \dotsb + x_n}{n}\!\right) \le \frac{f(x_1) + \dotsb + f(x_n)}{n}.\]
    • $n$ に関する帰納法で証明する。
    • $n = 1$ のときは明らか。
    • $n = 2$ のときは
      • $x_1 \ne x_2$ のときは Th 3.15 そのものなので成り立つ。
      • $x_1 = x_2$ のときは両辺が一致するので成り立つ。

    • 一般の $n$ については、次の恒等式を考えることで $n = 2$ の場合に帰着させられるから、成り立つといえる：

      \[\sum_{k = 1}^n \frac{x_k}{n} = \frac{n - 1}{n}\sum_{k \ne j}^n \frac{x_k}{n - 1} + \frac{x_j}{n}, \quad j = 1, \dotsc, n.\]
  • 第 30 問：相加平均と相乗平均の評価
    • $a_1, \dotsc, a_n > 0$.
    • $f(x) = -\log(x)$ とおく。この関数は区間を ${[\min\lbrace a_k\rbrace, \max\lbrace a_k\rbrace]}$ に限定すれば、第 29 問の関数に対する仮定をすべて満たす。

    • 左辺を $L$ とすると

      \[L = -\log\frac{\sum a_k}{n} = \log\frac{n}{\sum a_k}.\]

    • 右辺を $R$ とすると

      \[\begin{aligned} R &= \frac{1}{n}(-\log{a_1} - \dotsb -\log{a_n})\\ &= \sum(-\log\sqrt[n]{a_k})\\ &= \sum\left(\log\frac{1}{\sqrt[n]{a_k}}\right). \end{aligned}\]
    • あとは $\mathrm{e}^{-L} と \mathrm{e}^{-R}$ を評価すればいい。