小平邦彦著『岩波講座基礎数学 解析入門 II』『IV』より。 第 5 章級数の問題集。眠ってしまったのと難問揃いであるのとで、解き残しが特に多い。

  • 第 38 問：級数の積
    • 仮定：
      • 級数 $\sum a_n$ は絶対収束する。
      • 級数 $\sum b_n$ は収束する。
    • 結論
      • 級数 $(a_1 b_n + \dotsb a_n b_1)$ は収束して、その値は $(\sum a_n)(\sum b_n)$ に等しい。
    • 証明

      • 本文中によく似た状況の説明があるので、それを真似ればいい。そこで用いられた記号を流用する。

        \[\begin{alignedat}{} s_m &= \sum_{n = 1}^m a_n, & s &= \sum_{n=1}^\infty a_n,\\ t_m &= \sum_{n = 1}^m b_n, & t &= \sum_{n=1}^\infty b_n,\\ \sigma_m &= \sum_{n = 1}^m {|a_n|}, & \sigma &= \sum_{n=1}^\infty {|a_n|},\\ \tau_m &= \sum_{n = 1}^m {|b_n|}, & \tau &= \sum_{n=1}^\infty {|b_n|},\\ c_n &= a_1 b_n + \dotsb a_n b_1, & \rho_n &= ({|a_1 b_n|} + \dotsb {|a_n b_1|}).\\ \end{alignedat}\]
      • この仮定でも $\displaystyle \sum_{n = 1}^m \rho_n \le \sigma_m \tau_m \le \sum_{n}^{2m-1}\rho_n$ が成り立つ。各辺の極限をとるとはさみうちの原理により $\displaystyle \lim_{m \to \infty}(\rho_n - \sigma_m \tau_m) = 0.$

      • 次の不等式が成り立つ（数列の項の対応関係については図を描いて理解するといい）：

        \[\left\lvert s_m t_m - \sum_{n=1}^m c_n\right\rvert \le \sigma_m \tau_m - \sum_{n=1}^m \rho_n.\]

        この極限をとると、右辺はゼロに収束するので左辺からこう考えられる：

        \[st = \sum_{m=1}^\infty c_n.\]

  • 第 39 問：Gauss の判定法

    \[1 + \left(\frac{1}{2}\right)^p + \left(\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}\right)^p + \left(\frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6}\right)^p + \dotsb\]

    級数をなす数列の一般項を $a_n$ とすると $a_n = \left(\dfrac{1 \dotsb (2n - 1)}{2 \dotsb (2n)}\right)^p.$

    \[\begin{aligned} \dfrac{a_n}{a_{n+1}} &= \left(\!\dfrac{2n + 2}{2n + 1}\!\right)^p\\ &= \left(\!1 + \dfrac{1}{2n + 1}\!\right)^p\\ &= 1 + \dfrac{p}{2n + 1} + O\!\left(\!\dfrac{1}{n^2}\!\right). \end{aligned}\]

    Gauss の判定法により、与えられた級数は $p > 2$ のときに収束、$p \le 2$ のときに発散する。

  • 第 40 問：Raabe の判定法の証明
    • ここで時間切れ。