小平邦彦著『岩波講座基礎数学 解析入門 IV』より。 問題集の未解決項目再挑戦も含む。一部は TeX を入力するのが面倒なので要点しか記さない。

  • 第 35 問： Hermite 多項式の絡む積分

    \[I(m, n) = \int_{-\infty}^{\infty}\! x^m H_n(x) \mathrm{e}^{-x^2} \,\mathrm{d}x\]
    • $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}\mathrm{e}^{-x^2} = (-1)^n H_n(x) \mathrm{e}^{-x^2}$ だが、 これは $n$ 次多項式と $\mathrm{e}^{-x^2}$ の積なので、$\pm \infty$ ではゼロに収束することに注意。
    • $I(m, n) = mI(m-1, n)$ が成り立つことを部分積分を用いて示す。
      • $\dfrac{\mathrm{d}^{n-1 }}{\mathrm{d}x^{n-1} } \mathrm{e}^{-x^2}$ の項が現れるように部分積分する。

    • したがって $m$ と $n$ との大小関係により場合分けとなり、少なくとも次のことはいえる：

      \[I(m, n) = \begin{cases} m! \:I(0, n - m) &= 0, &\quad m < n,\\ m! \:I(0, 0) &= n! \sqrt{\pi}, &\quad m = n. \end{cases}\]
    • 注意：$H_0(x) = 1$ として計算できる。
  • 第 41 問： Raabe の判定法の応用
    • $\displaystyle 1 + \frac{a}{b} + \frac{a(a + 1)}{b(b + 1)} + \dotsb$ が収束する条件を考える。

    • $\displaystyle a_n = \frac{(a + n)!}{(b + n)!}\cdot \frac{(b - 1)!}{(a - 1)!}$ とおく。 すると $a_n/a_{n+1} \to 1$ なので、Cauchy の判定法は使えない。

      \[\begin{aligned} n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}} - 1\right) &= \frac{(b - 1)n}{a + n + 1}\\ &= \cfrac{b - a}{\cfrac{a + 1}{n} + 1}\\ &\to b - a \quad(n \to \infty). \end{aligned}\]
    • Raabe の収束判定法（第 40 問）により $b - a > 1$ のとき収束することが示された。
  • 第 42 問：一様収束
    • ${[0, \infty)}$ で 0 に一様収束する $C^0$ 級関数列 $\lbrace f_n(x)\rbrace$ で、
    • $\displaystyle \int_0^\infty f_n(x)\,\mathrm{d}x = 1$

    となるものを一つ挙げる。

    少々考えて、面積 1 の三角形を引き伸ばすことにした：

    \[f_n(x) = \begin{cases} \dfrac{x}{n^2}, & 0 \le x < n,\\ -\dfrac{x}{n^2} + \dfrac{2}{n}, & n \le x < 2n,\\ 0, & 2n \le x. \end{cases}\]
  • 第 18 問：$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[n]{n!}}{n}$
    • 第 17 問の結果を用いる。ヒントにあるように $a_n = \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n$ とおいて、式変形する。

    • まず次の変形を考察しておく。これが大変だった：

      \[\def\a#1{ {\left(1 + \frac{1}{#1}\right) } } \def\b#1{ {\frac{#1 + 1}{#1}} } \def\fnfn{ {\frac{(n + 1)!}{n!} } } \begin{alignedat}{} \a{1}&\a{2} \dotsb & \a{n} &= \b{1}&\b{2} \dotsb &\b{n} = &\fnfn&\frac{0!}{1!},\\ &\a{2} \dotsb & \a{n} &= &\b{2} \dotsb &\b{n} = &\fnfn&\frac{1!}{2!},\\ & & \a{n} &= & &\b{n} = &\fnfn&\frac{(n - 1)!}{n!}. \end{alignedat} \\ \begin{aligned} \therefore \sqrt[n]{\a{1}\a{2}^2 \dotsb \a{n}^n} &= \sqrt[n]{\left(\fnfn\right)^n \frac{1}{n!}}\\ &= \fnfn \frac{1}{\sqrt[n]{n!}}\\ &= \b{n} \cdot \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}. \end{aligned}\]

    • 第 17 問によると、この極限は $a_n$ のそれ、すなわち $\mathrm{e}$ に等しい。ゆえに：

      \[\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[n]{n!}}{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n + 1} \cdot \frac{1}{\mathrm{e}} = \frac{1}{\mathrm{e}}.\]
  • 第 43 問：べき級数の収束半径の計算
    • $\displaystyle 1 + \sum_{n = 1}^\infty \dfrac{(n!)^{2}}{(2n!)} x^n$ の収束半径 $r$ を計算する。
    • もっとも基本的な公式を用いる。

    • $a_n = \dfrac{(n!)^{2}}{(2n!)}$ とおく。次のように変形する：

      \[\begin{aligned} {\sqrt[n]{|a_n|}} &= \sqrt[n]{\dfrac{(n!)^{2}}{(2n!)}}\\ &= \frac{1}{4} \left(\dfrac{\sqrt[n]{n!}}{(n)}\right)^2 \left(\dfrac{(2n)}{\sqrt[2n]{(2n)!}}\right)^2.\\ \therefore \limsup_{n \to \infty}\sqrt[n]{|a_n|} &= \frac{1}{4} \cdot \left(\dfrac{1}{\mathrm{e}}\right)^2 \cdot \mathrm{e}^2\\ &= \frac{1}{4}.\\ \therefore r &= 4. \end{aligned}\]