小平邦彦著『岩波講座基礎数学 解析入門 III』『IV』 続きから。

  • 第 19 問： $\displaystyle \lim_{n \to \infty} n(\sqrt[n]{a} - 1)$
    • StackExchange でヒントだけ見たので、それに従う：

    • $a \ne 1$ としてよい。$\dfrac{1}{x} = \sqrt[n]{a} - 1$ とおく。このとき：

      \[\def \XXX {\left(\!1 + \dfrac{1}{x}\!\right)} a = \XXX^n,\quad n = \frac{\log a}{\log\XXX}.\\ \begin{aligned} \therefore \lim_{n \to \infty}\frac{n}{x} &= \lim_{n \to \infty}\frac{\log a}{x \log\XXX}\\ &= \lim_{n \to \infty}\frac{\log a}{\log\XXX^x}\\ &= \frac{\log a}{\log \mathrm{e}}\\ &= \log a. \end{aligned}\]
  • 第 44 問：無限乗積
    • $f_n(x)$ は区間 $I$ で $C^0$ 級関数である。
    • $f_n(x) > -1.$
    • $\sum f_n(x)$ が区間 $I$ で一様に絶対収束する。

    このとき $\prod (1 + f_n(x))$ は区間 $I$ で $C^0$ 級関数である。

    • $s(x) = \sum f_n(x)$ とおく。一様収束であるので Th 5.5 が適用できる： $s(x)$ は区間 $I$ で $C^0$ 級関数である。
    • また、級数の絶対収束性から関数列 $f_n(x)$ について $f_n(x) \to 0\ (n \to \infty).$ 各点 $x \in I$ で Th 5.20 が適用できる： $\prod (1 + f_n(x))$ は収束して、$\exp(s(x))$ に一致する。
    • 関数 $s(x)$ と $\mathrm{e}^x$ はともに区間 $I$ で$C^0$ 級関数であるから、 その合成関数もまた区間 $I$ で $C^0$ 級関数である。

  • 第 45 問：二変数関数の連続性、偏微分可能性、微分可能性の確認

    \[f(x, y) = \begin{cases} \dfrac{x^3 - y^3}{x^2 + y^2},& (x, y) \ne (0, 0),\\ 0,& (x, y) = (0, 0). \end{cases}\]
    • 平面全体で連続性：
      • 原点以外は明らかに各点で連続である。

      • 原点における連続性の確認：

        \[\begin{aligned} f(0, y) &= \frac{-y^3}{y^2} = -y,\quad y \ne 0,\\ f(x, 0) &= \frac{x^3}{x^2} = x, \quad x \ne 0. \end{aligned}\]

        ゆえに次のようにして原点においても連続であることがわかる：

        \[\lim_{y \to 0}f(0, y) = 0 = f(0, 0),\\ \lim_{x \to 0}f(x, 0) = 0 = f(0, 0).\]
    • 平面全体における偏微分可能性：

      • 偏導関数を計算する（詳細省略）：

        \[\begin{aligned} f_x(x, y) &= \begin{cases} \dfrac{2xy^2(x + y)}{(x^2 + y^2)^2}, &y \ne 0\\ 0,&y = 0. \end{cases} \\ f_y(x, y) &= \begin{cases} \dfrac{y(-y^3 - 3x^2y - 2x^3)}{(x^2 + y^2)^2}, & x \ne 0,\\ -1, & x = 0. \end{cases} \end{aligned}\]
    • 原点においてのみ微分不能であること：
      • ここを上手く説明できない。