きのう解けなかった問題。

第 45 問：二変数関数の連続性、偏微分可能性、微分可能性の確認

  • 原点においてのみ微分不能であること：

    \[\begin{aligned} \lim_{x \to 0}\frac{f(x, 0) - f(0, 0)}{x} &= \lim_{x \to 0}\frac{x - 0}{x}\\ &= \lim_{x \to 0}1\\ &= 1,\\ \lim_{y \to 0}\frac{f(0, y) - f(0, 0)}{y} &= \lim_{y \to 0}\frac{-y - 0}{y}\\ &= \lim_{y \to 0}-1\\ &= -1. \end{aligned}\]

    これは $f_x(0, 0) \ne f_y(0, 0)$ を意味する。したがって $f$ は原点において微分不能である。

  • Finding continuity and differentiability of a multivariate function - Mathematics Stack Exchange を参考にした。