小平邦彦著『岩波講座基礎数学 解析入門 IV』より。今回で最終回とする。

  • 第 61 問：$K = \lbrace(x, y, z) \,\mid\, x^\frac{2}{3} + y^\frac{2}{3} + z^\frac{2}{3} \le 1\rbrace$ の体積

    • ヒントに従ってガンマ関数が現れる形に変形する。

      \[\begin{aligned} X &= x^\frac{2}{3}, Y = y^\frac{2}{3}, Z = z^\frac{2}{3}.\\ D &= \{(X, Y, Z) \,\mid\, X + Y + Z \le 1, X \ge 0, Y \ge 0, Z \ge 0\}. \end{aligned}\]

      3-単体と呼ばれる集合になる。

    • Jacobian を計算する：

      \[\begin{aligned} \frac{\partial(x, y, z)}{\partial(X, Y, Z)} \def\arraystretch{2.0} &= \begin{vmatrix} \dfrac{3}{2}\sqrt{X} & 0 & 0\\ 0 & \dfrac{3}{2}\sqrt{Y} & 0\\ 0 & 0 & \dfrac{3}{2}\sqrt{Z} \end{vmatrix}\\ &= \frac{27}{8}\sqrt{XYZ} \ge 0. \end{aligned}\]

    • 積分を計算する。この変形も指示通りだ：

      \[\def\dx{\mathrm{d}x} \def\dy{\mathrm{d}y} \def\dz{\mathrm{d}z} \def\dX{\mathrm{d}X} \def\dY{\mathrm{d}Y} \def\dZ{\mathrm{d}Z} \def\pp{ {\frac{3}{2} - 1} } \def\gammah{ \varGamma\left(\dfrac{1}{2}\right) } \begin{aligned} V &= \iiint_K\!\dx\dy\dz\\ &= \frac{27}{8}\iiint_D\!\sqrt{XYZ}\,\dX\dY\dZ\\ &= 8 \cdot \frac{27}{8} \int_D\! (1 - (X + Y + Z))^{1 - 1} X^\pp Y^\pp Z^\pp\dX\dY\dZ\\ &= \dfrac{\varGamma(1)\varGamma\left(\dfrac{3}{2}\right)^3}{\varGamma\left(1 + \dfrac{9}{2}\right)} \cdot 27\\ &= \dfrac{1 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\gammah\!\right)^3}{\dfrac{9}{2} \cdot \dfrac{7}{2} \cdot \dfrac{5}{2} \cdot \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \gammah}\\ &= \frac{35\pi}{4}. \end{aligned}\]
  • 第 62 問：$\displaystyle \iiint_D \frac{\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z}{(x^2 + y^2 + z^2)^s}$ の収束・発散
    • $D = \lbrace(x, y, z)\,\mid\,x^2 + y^2 + z^2 > 1\rbrace.$
    • 第 56 問とよく似ている。次元が一つ上がった。

    • 標準的な極座標変換を施す。Jacobian は $r^2\sin\theta$ となる。

      \[\def\dr{ \mathrm{d}r } \def\dtheta{ \mathrm{d}\theta } \def\dphi{ \mathrm{d}\varphi } \begin{aligned} I &= \int_1^\infty\dr \int_0^\pi\dtheta \int_0^{2\pi}\!\frac{r^2\sin\theta}{r^{2s}}\,\dphi\\ &= \int_1^\infty\!r^{2 - 2s}\,\dr \int_0^\pi \!\sin\theta\,\dtheta \int_0^{2\pi}\!\dphi\\ &= 4\pi \int_1^\infty\!r^{2 - 2s}\,\dr. \end{aligned}\]
    • よって $2 - 2s < -1$ すなわち $s > \dfrac{3}{2}$ で絶対収束、$s \le \dfrac{3}{2}$ で発散する。
  • 第 63 問：ガンマ関数に帰着させる積分
    • 仮定
      • $0 \le a < b \le \infty.$ を定数とする。
      • $q > 0, r > 0, s > 0$ を定数とする。
      • 領域 $D = \lbrace(x, y, z)\,\mid\, x > 0, y > 0, z > 0, a < x + y + z < b\rbrace.$
      • 関数 $f\colon {[a, b]} \longrightarrow \Reals$ は $C^0$ 級かつ $\forall u \quad f(u) > 0.$

    • 結論

      \[\def\G#1{\varGamma(#1)} \iiint_D\!f(x + y + z)x^{q-1}y^{r-1}z^{s-1}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z = \frac{\G{q}\G{r}\G{s}}{\G{q + r + s}}\int_a^b\!f(u)u^{q + r + s - 1}\,\mathrm{d}u.\]
    • 証明

      • 本文 (8.77) の変数変換を施す：

        \[\begin{alignedat}{} u &= x + y + z, & v &= \frac{y + z}{x + y + z}, & w &= \frac{z}{y + z}.\\ x &= uv, & y &= v(1 - u), & z &= uvw. \end{alignedat}\]

        ここで $a < z < y + z < x + y + z < b$ なので $u \in {(a, b)}$ となる。 残りは $v, z \in {(0, 1)}$ となる。 また、この変換の Jacobian は $u^2v$ である。

      • 積分を計算すると自然にガンマ関数が現れる：

        \[\def\du{\mathrm{d}u} \def\dv{\mathrm{d}v} \def\dw{\mathrm{d}w} \def\G#1{\varGamma(#1)} \begin{aligned} &\iiint_D\!f(x + y + z)x^{q-1}y^{r-1}z^{s-1}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z\\ &= \int_a^b\!\du\int_0^1\!\dv\int_0^1\!f(u) u^{q-1}(1-v)^{q-1} u^{r-1}v^{r-1} (1-w)^{r-1}u^{s-1}v^{s-1}w^{s-1} u^2v\,\dw\\ &= \int_a^b\!f(u) u^{q + r + s - 1}\,\du \int_0^1\!v^{r + s - 1}(1 - v)^{q - 1}\,\dv \int_0^1\!w^{s-1}(1- w)^{r - 1}\,\dw\\ &= \int_a^b\!f(u) u^{q + r + s - 1}\,\du \cdot \frac{\G{q}\cancel{\G{r + s}}}{\G{q + r + s}}\frac{\G{r}\G{s}}{\cancel{\G{r + s}}}\\ &= \frac{\G{q}\G{r}\G{s}}{\G{q + r + s}}\int_a^b\!f(u)u^{q + r + s - 1}\,\mathrm{d}u. \end{aligned}\]
  • 第 64 問：前問の一般の次元版
    • 仮定
      • $0 \le a < b \le \infty.$ を定数とする。
      • $q_1, q_2, \dotsc, q_n > 0$ を定数とする。
      • 領域 $D = \lbrace(x_1, x_2, \dotsc, x_n)\,\mid\, x_1 > 0, \dotsc, x_n > 0, a < \sum x_n < b\rbrace.$
      • 関数 $f\colon {[a, b]} \longrightarrow \Reals$ は $C^0$ 級かつ $\forall u \quad f(u) > 0.$

    • 結論

      \[\def\G#1{\varGamma(#1)} \iiint_D\!f(x_1 + \dotsb + x_n) x_1^{q_1 - 1} \dotsm x_n^{q_n - 1}\,\mathrm{d}x_1 \dotsm \mathrm{d}x_n = \frac{\G{q_1}\dotsm\G{q_n}}{\G{\sum q_k}}\int_a^b\!f(u)u^{\sum q_k - 1}\,\mathrm{d}u.\]
    • 証明
      • 解答例を見ると帰納法を採用しているが、直接やっても解ける。以下、変数変換と Jacobian のみ記す。

      • 変数変換：

        \[\begin{alignedat}{} u_1 &= \sum_{k=1}^n x_k, & x_1 &= u_1(1 - u_2),\\ u_2 &= \frac{\sum_{k=2}^n x_k}{\sum_{k=1}^n x_k}, & x_2 &= u_1 u_2(1 - u_3),\\ \dots & & \dots\\ u_n &= \frac{x_n}{x_{n - 1} + x_n}, & x_n &= u_1 u_2 \dotsm u_n. \end{alignedat}\]
      • 写像 $\varPhi\colon (u_1, \dotsc, u_n) \longmapsto (x_1, \dotsc, x_n) \in D$ は $C^1$ 級（実はもっと）全単射写像である。 もっと後で習う用語でいうと微分同相写像。定義域は $a < u_1 < b, \quad \forall k > 1 \quad 0 < u_k < 1.$

      • Jacobian は次の式で得られる：

        \[\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & \dots & 0 \\ u_2 & u_1 & 0 & \dots & 0 \\ u_2u_3 & u_1u_3 & u_1u_2 & \dots & 0\\ \dots & & & \ddots & 0\\ \dots & \dots & \dots & \dots & u_1u_2\dotsm u_{n-1}\\ \end{vmatrix} = u_1^{n-1} u_2^{n-2} \dotsm u_{n-1} > 0.\]
      • あとは前問と同様の展開になる。
  • 第 65 問：$\displaystyle I = \int_D\frac{\mathrm dx_1 \dotsm \mathrm dx_n}{(x_1^2 + \dotsb + x_n^2)^s}$ の収束・発散
    • ここで $D = \lbrace(x_1, \dotsc, x_n)\,\mid\,x_1^2 + \dotsb x_n^2 > 1\rbrace;$ 超球の外側とする。
    • うまく変形して前問の結果を応用する。

    • 変数変換を次のように定義する：

      \[X_1 = x_1^2, \dotsc, X_n = x_n^2.\\ \varPhi\colon(X_1, \dotsc, X_n) \longmapsto (x_1, \dotsc, x_n).\\ E = \{(X_1, \dotsc, X_n)\,\mid\,X_1 + \dotsb + X_n > 1, X_1 > 0, \dotsc, X_n > 0\}.\]

    • Jacobian の計算は次のようになる：

      \[\def\dd#1{ \mathrm{d}{#1} } \begin{alignedat}{} \dd X_1 &= 2x_1\,\dd x_1,\\ \dd X_2 &= &&2x_2\,\dd x_2,\\ \dots\\ \dd X_n &= && && && 2x_n\,\dd x_n. \end{alignedat} \\ \begin{aligned} \therefore \frac{\partial(X_1, \dotsc, X_n)}{\partial(x_1, \dotsc, x_n)} &= 2^n x_1 x_2 \dotsm x_n\\ &= 2^n \sqrt{X_1 X_2 \dotsm X_n} > 0. \end{aligned} \\ \therefore \dd x_1 \dotsm \dd x_n = \frac{\dd X_1 \dotsm \dd X_n}{2^n \sqrt{X_1 X_2 \dotsm X_n}}.\]

    • 積分を計算する：

      \[\def\dd#1{ \mathrm{d}{#1} } \begin{aligned} I &= 2^n \int_{D_1}\!\frac{\dd x_1 \dotsm \dd x_n}{(x_1^2 + \dotsb + x_n^2)^s}\\ &= 2^n \int_1^\infty \dotsi \int_1^\infty\! \frac{1}{(X_1 + \dotsb + X_n)^s} \cdot\frac{\dd X_1 \dotsm \dd X_n}{2^n \sqrt{X_1 X_2 \dotsm X_n}}\\ &= \int_1^\infty \dotsi \int_1^\infty\! (X_1 + \dotsb + X_n)^{-s} \cdot X_1^{-\frac{1}{2}} X_2^{-\frac{1}{2}} \dotsm X_n^{-\frac{1}{2}}\, \dd X_1 \dotsm \dd X_n\\ &= \int_1^\infty \dotsi \int_1^\infty\! (X_1 + \dotsb + X_n)^{-s} \cdot X_1^{\frac{1}{2} - 1} X_2^{\frac{1}{2} - 1} \dotsm X_n^{\frac{1}{2} - 1}\, \dd X_1 \dotsm \dd X_n\\ &= \dfrac{\varGamma{\left(\dfrac{1}{2}\right)}^n}{\varGamma\left(\dfrac{n}{2}\right)} \int_1^\infty\! u^{-s} u^{\frac{n}{2} - 1}\,\dd u\\ &= \dfrac{\varGamma{\left(\dfrac{1}{2}\right)}^n}{\varGamma\left(\dfrac{n}{2}\right)} \int_1^\infty\! u^{(\frac{n}{2} - s) - 1}\,\dd u\\ \end{aligned}\]

      したがって $s > \dfrac{n}{2}$ のとき収束、$s \le \dfrac{n}{2}$ のとき発散。

    • 収束するときの極限も計算できるが、もう面倒なのでやらない。
  • 第 66 問：$\displaystyle \sum_{m_1 = 1, \dotsc, m_n = 1}^\infty \frac{1}{(m_1^2 + \dotsm + m_n^2)^s}$ の収束・発散
    • 軽装版ではこの問題はボツになっている。
    • 前問の広義積分がその答えだ。