彌永昌吉・彌永健一著『岩波基礎講座 基礎数学 9 集合と位相 I』より。選出公理。

  • §4.4 選出公理
    • テーマ：集合の公理 $(S8)$ を議論する。

    • $(S8)$ 選出公理

      \[\tag*{$(S8)$} \forall a \exists f( f \in \operatorname{Map}(a, \bigcup a) \land \forall x( x \in a \land x \ne \varnothing \implies f(x) \in x)).\]
      • コメント：一見して主張がわかりにくい。
      • この $f$ を choice function と呼ぶ。
    • (Th 4.8) 関数 $F\colon\R\longrightarrow\R$ が連続である $\iff$ 関数 $F$ が C 型である。
      • 証明は $(S8)$ に依る。
      • コメント：この定理によって、昨日書いた Cauchy 列と関数の極限の順序交換が成立するかどうか考える。
    • (Th 4.9)
      • 仮定
        • $I \ne \varnothing.$
        • $\lbrace a_i\rbrace_{i \in I}$ を添数付けられた集合とする。
        • $\forall i \in I (a_i \ne \varnothing.)$
      • 結論
        • $\displaystyle \prod_{i \in I}a_i \ne \varnothing.$

      • 証明：この添数付けられた集合に付随する写像を $f$ とおく：

        \[f\colon I \longrightarrow \{a_i\};\quad i \longmapsto a_i.\]

        そして $(S8)$ による $\lbrace a_i\rbrace$ の choice function を $F$ とする：

        \[F\colon a_i \longrightarrow \bigcup a_i.\\ \forall i \in I (F(a_i) \in a_i).\]

        それから合成写像 $\lambda = F \circ f\colon I \ni i \longmapsto F(a_i) \in a_i$ を考える。 $\lambda(i) = F(a_i) \in a_i$ ということは $\lambda \in \prod a_i.$

    • (Q4.6) (Th 4.9) $\iff (S8)$
      • $\implies$ 側の証明が残っている。
      • 集合 $a$ について部分集合 $A = \lbrace x \in a \,\mid\, x \ne a\rbrace$ と恒等写像 $1_A\colon A \longrightarrow A$ を考える。 ここで $A$ を $1_A$ によって添数付けられた集合とみなす。
        • コメント：$A \ne \varnothing$ が必要。

        • コメント：そもそも「添数付けられた集合」の定義はこうだ：

          順序対 $(f, f(I))$ であり、$f\colon I \longrightarrow A, I \ne \varnothing.$

          よって $(1_A, A)$ は添数付けられた集合だ。

      • $A \ne \varnothing$ のとき写像 $\displaystyle \lambda \in \prod_{x \in A}1_A(x)$ が仮定により存在する。 これは $A$ の choice function になっている。

        • コメント：「添数付けられた集合の直積」の定義を見返す (p. 39)：

          \[\prod_{i \in I}a_i \coloneqq \left\{\left. \lambda \in \operatorname{Map}(I, \bigcup_{i \in I}a_i) \right | \left. \forall i \in I (\lambda(i) \in a_i)\right.\right\}.\]

          直積は写像の集合なのだ。今の状況はこう：

          \[\prod_{x \in A}1_A(x) = \left\{\left. \lambda \in \operatorname{Map}(A, \bigcup_{x \in A}1_A(x)) \right | \left. \forall x \in A (\lambda(x) \in 1_A(x))\right.\right\}.\]

        • コメント： $A$ の choice function の定義を $(S8)$ に基づいて書き出してみる：

          \[\lambda\colon A \longrightarrow \bigcup A,\quad \forall x \in A (x \ne \varnothing \implies \lambda(x) \in x.)\]

          $1_A(x) = x$ が効いていることが納得できる。

    • (Th 4.10) 無限集合には $\omega$ と対等である部分集合が存在する。
      • 証明：集合族 $2^A$ の choice function を $f$ とする。
        • $\tilde A = \lbrace X \in 2^A \,\mid\, \lvert X \rvert < \infty\rbrace$ とおく。$\tilde A \ne \varnothing.$
        • $\forall X \in \tilde A (A\setminus X \ne \varnothing.)\quad \therefore f(A\setminus X) \in A\setminus X.$

        • あとは次が成り立つことを示したい：

          \[\exists U_n \in \tilde A (n > m \implies U_n \supsetneq U_m).\]

        • 写像 $g\colon\tilde A \longrightarrow \tilde A$ を $g(X) = X \cup \lbrace f(A\setminus X)\rbrace$ で定める。このとき帰納定理により次が成り立つ：

          \[\exists F \in \operatorname{Map}(\omega, \tilde A)( F(0) = \varnothing \land F(n^+) = g\circ F(n)).\]
        • $U_n = F(n)$ とおけば $n > m \implies U_n \supsetneq U_m. \quad \therefore U_{n+1} = U_n \cup \lbrace f(A\setminus U_n)\rbrace \supsetneq U_n.$
          • コメント：$U_{n+1} = U_{n^+}.$
        • 写像 $h\colon\omega\longrightarrow A$ を $h(n) = f(A\setminus U_n)$ で定める。単射である。
          • コメント：$h(n) = f(A\setminus U_n) \in A\setminus U_n \subsetneq U_n$ より $h(m) \ne h(n).$

          ゆえに：

          \[\begin{aligned} n > m \implies h(m) &= f(A\!\setminus\!U_m)\\ &\in U_m \cup \{f(A\!\setminus\!U_m)\}\\ &= U_{m^+} \subset U_n. \end{aligned}\]
        • 以上で $h(\omega) \subset A$ は $\omega$ と対等であることが示された。
    • (Cor 4.10) $A$ が無限集合 $\iff \exists B (B \subsetneq A \land B \approx A.)$
      • 証明
        • (Th 4.10) により、無限集合 $A$ に対して部分集合 $S \subset A$ および全単射 $f\colon S \longrightarrow \omega$ が存在する。

        • 写像 $F$ を次のようにとれば、$A \approx F(A).$ ここで $f^{-1}(0) \notin F(A).$

          \[F(x) = \begin{cases} x, & x \in A\!\setminus\!S,\\ f^{-1}(f(x)^+),& x \in S. \end{cases}\]