彌永昌吉・彌永健一著『岩波基礎講座 基礎数学 9 集合と位相 I』より。 基数の性質、無限基数。

  • §6.3 続き
    • 基数は特別な順序数であるので \mathfrak 文字で目立たせる。
    • $\mathfrak{a}, \mathfrak{b}$ を基数とすると、次のいずれかちょうど一つが起こる： $\mathfrak{a} \subsetneq \mathfrak{b},\quad \mathfrak{a} = \mathfrak{b},\quad \mathfrak{b} \subsetneq \mathfrak{a}.$ このうち、$\subsetneq$ を $<$, $\subset$ を $\le$ で表す。
      • $n, m\in\omega$ ならば、自然数としての大小関係と基数としての順序関係は一致する。
    • 和と積

      • $\mathfrak{a} \approx a, \mathfrak{b} \approx b$ のとき次で和と積を定義する：

        \[\begin{aligned} \mathfrak{a} + \mathfrak{b} &\coloneqq \lvert a \oplus b\rvert,\\ \mathfrak{a} \mathfrak{b} &\coloneqq \lvert a \otimes b\rvert. \end{aligned}\]
      • 交換法則、結合法則、分配法則 $\mathfrak{a}(\mathfrak{b} + \mathfrak{c}) = \mathfrak{a}\mathfrak{b} + \mathfrak{a}\mathfrak{c}$ が成り立つ。

      • 一般に、基数の集合 $\lbrace \mathfrak{a}i \rbrace{i \in I}$ が与えられたときに、次のものをそれぞれ和と積と呼ぶ：

        \[\def\a{ \mathfrak{a} } \begin{aligned} \sum_{i \in I}\a_i &\coloneqq \left\lvert \bigoplus_{i \in I} \a_i\right\rvert,\\ \prod_{i \in I}\a_i &\coloneqq \left\lvert \prod_{i \in I} \a_i\right\rvert.\\ \end{aligned}\]
    • べき
      • 積の定義において、特にすべての $\mathfrak{a}_i$ が共通の基数 $\mathfrak{a}$ に等しいとき、 $\mathfrak{i} = \lvert I\rvert$ とおくと、$\prod \mathfrak{a}_i = \lvert \operatorname{Map}(I, \mathfrak{a})\rvert = \lvert \mathfrak{a}^I\rvert.$ この値を $\mathfrak{a}^\mathfrak{i}$ と表し、$\mathfrak{a}$ の $\mathfrak{i}$ 乗だとか、$\mathfrak{i}$ べきだとかという。

      • 基数についてのべきには次の性質がある：

        \[\def\a{ \mathfrak{a} } \def\b{ \mathfrak{b} } \def\c{ \mathfrak{c} } \begin{aligned} \a^0 &= 1,\\ \a^1 &= \a,\\ \a^{\b + \c} &= \a^\b \a^\c,\\ (\a\b)^\c &= a^\c b^\c,\\ \a^{\b\c} &= (\a^\b)^\c. \end{aligned}\]
    • (Q 6.5) 上記の証明問題。基数のべき乗復習ノート
  • §6.4 $\aleph_0,$ 無限基数
    • $\aleph_0 \coloneqq \lvert \omega \rvert$ とする。

    • $\forall n \in \omega$ について次が成り立つ：

      \[\begin{aligned} n + \aleph_0 &= \aleph_0.\\ n > 0 &\implies n\aleph_0 = \aleph_0.\\ n > 0 &\implies \aleph_0^n = \aleph_0. \end{aligned}\]

      最後の等式だけ説明する。 まず $\aleph_0^2$ を考える。だいぶ前のところでやったように $\N \times \N$ と $\N$ との間には一対一対応がある。 e.g. $f(n, m) = 2^{n - 1}(2m - 1).$ よって $\aleph_0^2 = \aleph_0.$ 同様にして $n \in \omega\setminus 0 \implies \aleph_0^n = \aleph_0.$

    • $\lbrace \mathfrak{a}n \rbrace{n \in \omega}$ を、各 $\mathfrak{a}_i$ が $\omega$ と対等であるような、自然数で添数付けられた集合族とし、 $A \coloneqq \bigcup \mathfrak a_n$ とおけば $A \approx \omega.$

      なぜか：写像 $F \colon \omega \longrightarrow \omega\times\omega$ と $f_n \colon \omega \longrightarrow \mathfrak a_n$ に対して写像 $G \colon \omega \ni n\longrightarrow f_m(x) \in A$（ただし $F(n) = (x, m)$） とおくと、 $G$ は全射である。(Cor 6.6.4) により $A \approx \omega.$

      • ここで $\mathfrak{a}_n = \omega^{\otimes n}$ とおく。 すると $\bigcup \omega^{\otimes n} = \omega^{\otimes n}$ により

        \[\lvert \omega_2 \rvert \coloneqq \lvert \omega^{\otimes\omega} \rvert = \aleph_0.\]

        それゆえ、次のような $\omega$ のべきはすべて可算無限集合である：

        \[\begin{aligned} \omega_3 &\coloneqq \omega^{\otimes\omega_2},\\ \omega_4 &\coloneqq \omega^{\otimes\omega_3},\\ &\dots\\ \end{aligned}\]

      • $\varepsilon_0 = \sup \lbrace \omega_n\rbrace_{n \in \omega}$ だから $\varepsilon_0 \subset \bigcup \omega_n.$ 上と同様にして次が得られる：$\varepsilon_0 \approx \omega.$

    • (Q 6.6) $\lvert \mathbb{Q}\rvert = \aleph_0.$
      • 全射 $\Z \times (\Z\setminus 0)\longrightarrow \mathbb{Q}$ を構成して (Cor 6.6.3) を用いる。
      • よくある問題なので、確実に解答が与えられるようになること。
    • (Th 6.7) (Cantor) 基数に対して $\def\a{\mathfrak{a}} \a < 2^{\a}.$
      • 証明：$\mathfrak{a} \triangleleft 2^\mathfrak{a}$ ゆえ $\mathfrak{a} \not\approx 2^\mathfrak{a}$ を示す。
        1. 全単射 $f \colon \mathfrak{a} \longrightarrow 2^\mathfrak{a}$ が存在すると仮定して矛盾を導く。
        2. $s \coloneqq \lbrace x \in \mathfrak{a}\,\mid\,x \notin f(x)\rbrace$ とおく。
        3. $s \in 2^\mathfrak{a}$ だから $\exists a \in \mathfrak{a}(f(a) = s).$
        4. 排中律により $a \in s$ または $a \notin s$ のいずれか一方しか成り立たない。
        5. $a \in s$ ならば推論 2. より $a \notin f(a).$ 一方推論 3. より $f(a) = s.$ したがって $a \notin s$ が導かれて矛盾。
        6. $a \notin s$ ならば今度は $s = f(a)$ なので $a \in s$ となり、これもまた矛盾。
        7. よって推論 1. のような全単射写像は存在しない。
    • 非可算：特に $\aleph_0$ よりも大きい基数を非可算の基数といい、そのような基数をもつ集合を 非可算集合と呼ぶ。
    • (Q 6.7) 基数のみからなる集合は存在しない。
      • そんな集合があるとして、そのどの元よりも大きな基数が存在する。
    • 基数 $\mathfrak{a} \le \mathfrak{b}$ について、$\mathfrak{b} = \mathfrak{a} \oplus \gamma$ をみたす $\gamma$ が存在し、 $\mathfrak{c} = \lvert \gamma\rvert$ とおけば $\mathfrak{b} = \mathfrak{a} + \mathfrak{c}.$
    • (Th 6.8) 無限基数 $\mathfrak{a}, \mathfrak{b}$ に対し、$\mathfrak{a} = \aleph_0 \mathfrak{b}$ をみたす基数 $\mathfrak{b}$ が存在する。
      • 証明：$A \coloneqq \lbrace S \subset 2^\mathfrak{a}\,\mid\,\forall s \in S (\lvert a \rvert = \aleph_0) \land \forall s \forall t \in S(s \ne t \implies s \cap t = \varnothing)\rbrace$ とおく。
        1. $\lbrace \aleph_0 \rbrace \in A$ なので $A \ne \varnothing.$
        2. $(A, \subset)$ は順序集合である。ゆえに $C$ を $A$ に含まれる鎖とすると、$\sup C = \bigcup C.$
        3. よって $(A, \subset)$ は帰納的順序集合であり、極大元 $M$ をもつ。これが求めるものであることを以下示す。
        4. $\tilde M \coloneqq \bigcup M$ とおく。$\tilde M \subset \mathfrak{a}$ であり、 $\mathfrak{a}\setminus\tilde M$ は有限集合である。
          • コメント：$\mathfrak{a}\setminus\tilde M$ が無限集合であるとすると、$M$ の極大性に反することが起こる。

        5. 一方 $\tilde M$ は無限集合であり、$\lvert \tilde M\rvert = \aleph_0 M$ より

          \[\mathfrak{a} = \lvert M\rvert + \lvert \mathfrak{a}\!\setminus\!\tilde M\rvert = \lvert \tilde M \rvert = \aleph_0 M.\]
    • (Cor 6.8) 無限基数 $\mathfrak{a}$ に対し、$\mathfrak{a} + \mathfrak{a} = \mathfrak{a}.$

    • (Q 6.8) 無限基数 $\mathfrak{a}$ と基数 $\mathfrak{b}$ について次が成り立つ：

      \[\begin{aligned} \text{(i)} \quad & 0 < \mathfrak{b} \le \aleph_0 \implies \mathfrak{ab} = \mathfrak{a}.\\ \text{(ii)} \quad & \mathfrak{b} \le \mathfrak{a} \implies \mathfrak{a} + \mathfrak{b} = \mathfrak{a}. \end{aligned}\]
    • (Th 6.9) 無限基数 $\mathfrak{a}$ に対し、$\mathfrak{a}^2 = \mathfrak{a}.$

      • 証明：次の対応の集合を考える：

        \[\def\a{ \mathfrak{a} } \mathscr{F} \coloneqq \{f \subset (\a \times \a) \times a\,|\,\exists s \subset \a ( (f \subset (s \times s) \times \a) \land (f\vert_{s\times s}\colon s\times s \longrightarrow s \text{ is surjection}) )\}\]
        1. $\aleph_0 \times \aleph_0 \approx \aleph_0$ なので $\mathscr F \ne \varnothing.$
        2. $(\mathscr{F}, \subset)$ は順序集合である。極大元 $f_0$ が存在する。これによる像集合を $M$ とおく。
        3. $M \times M \simeq M$ であるから $M \simeq \mathfrak{a}$ を示すことにする。

        4. $\lvert M\rvert < \mathfrak{a}$ を仮定して矛盾を導く。

          $\mathfrak{a} = \lvert M \rvert + \lvert \mathfrak{a}\setminus M\rvert$ であり、 (Q 6.8) により

          \[\def\a{ \mathfrak{a} } \def\am{\a\!\setminus\!M} \begin{aligned} \a &= \max \lbrace \lvert M \rvert, \lvert \am \rvert\rbrace.\\ \therefore \a &= \lvert \am\rvert.\\ \therefore \a &\approx \am.\\ \therefore \a &\triangleleft \am. \end{aligned}\]
        5. $\exists N (N \subset \mathfrak{a}\setminus M) \land N \approx M.$
        6. $M \times N, N \times M, N \times N$ を考える。いずれも $\approx M \times M$ であり、 $M$ の仮定（全射の像というほうか？）により $M \times M \approx M \approx N.$ ゆえに $(M \cup N) \times (M \cup N) = \dots \approx N \approx M \cup N.$ これは $M$ の極大性に反する。
    • (Q 6.9) 無限基数 $\mathfrak{a}$ と基数 $\mathfrak{b}$ について $0 < \mathfrak{b} \le \mathfrak{a} \implies \mathfrak{ab} = \mathfrak{a}.$
      • コメント：似た式を見た。
    • (Q 6.10)
      1. $\mathfrak{a} > 0, \mathfrak{b} > 0$ で、少なくとも一方は無限基数とすると $\mathfrak{a} + \mathfrak{b} = \mathfrak{ab}.$
      2. $\mathfrak{a}$ を無限基数、$n \in \omega$ とすると $\mathfrak{a}^n = \mathfrak{a}.$
    • (Th 6.10) $\mathfrak{a}$ を無限基数、$\mathfrak{b}$ を基数とすると $2 \le \mathfrak{b} \le \mathfrak{a} \implies 2^\mathfrak{a} = b^\mathfrak{a}.$
      • 証明：$\mathfrak{b}^\mathfrak{a} \le 2^\mathfrak{a}$ を示す。
        1. $\mathfrak{b} \le 2^\mathfrak{b}$ だから $2^\mathfrak{b} \le (2^\mathfrak{b})^\mathfrak{a} = 2^(\mathfrak{ba}).$
        2. (Q 6.9) により $\mathfrak{ba} = \mathfrak{a}.\quad\therefore\mathfrak{b}^\mathfrak{a} \le 2^\mathfrak{a}$
        3. 一方、$2^\mathfrak{a} \le \mathfrak{b}^\mathfrak{a}$ は明らかに成り立つ。よって $2^\mathfrak{a} = b^\mathfrak{a}.$
      • コメント：以上の議論で ${\aleph_0}^{\aleph_0} = 2^{\aleph_0}$ が判明したことに注意する。
    • (Th 6.11) 連続の濃度：$\lvert \R \rvert = 2^{\aleph_0}.$

      • 証明：解析的なものになる。これはかなり前の章に出てきたことだが、 集合 $C$ を（$\mathbb{Q}^\omega$ の部分である）有理 Cauchy 列全部からなる集合とすると、 全射 $\colon C \longrightarrow \R$ が存在する。 $\lvert \mathbb{Q}\rvert = \aleph_0$ だから $\lvert C \rvert \le {\aleph_0}^{\aleph_0} = 2^{\aleph_0}.\quad\therefore \lvert \R \rvert \le 2^{\aleph_0}.$ 以下、反対方向の順序関係を示す。

        目標は単射 $r \colon 2^\omega \longrightarrow \R$ を構成することで、 $2^\omega \triangleleft \R$, i.e. $2^{\aleph_0} \le \lvert \R \rvert$ を示す。

        1. $\varphi \in 2^\omega$ に対して次のように $r(\varphi) = r_\varphi$ を定義する：

          \[r_\varphi \coloneqq \sum_{k = 0}^\infty \frac{\varphi(k)}{3}.\]
        2. $\forall k \in \omega(a_k = 0, 1)$ とする。
        3. このとき $\displaystyle f(n) \coloneqq \sum_{k = 0}^n \dfrac{a_k}{3^k}$ を考える。 $f(n) \in C.$
        4. $\varphi, \psi \in 2^\omega$ に対して $r_\varphi = r_\psi$ とする。 $\exists k \in \N (\varphi(k) \ne \psi(k))$ を仮定し矛盾を導く。その最小の $k$ を $n$ とおく。 このとき $\varphi(n) = 1, \psi(n) = 0$ を仮定してもかまわない。

        5. TODO: 以下の評価がよくわからない。$-1 \le \varphi(k) - \psi(k)$ が使われる。

          \[\begin{aligned} r_\varphi - r_\psi &= \frac{1}{3^n} + \sum_{k = n + 1}^\infty \frac{\varphi(k) - \psi(k)}{3^k} = 0.\\ -\sum_{k = n + 1}^\infty \frac{1}{3^k} &= -\cfrac{\cfrac{1}{3^{k + 1}}}{1 - \cfrac{1}{3}}\\ &= -\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3^n} \le \sum_{k = n + 1}^\infty \frac{\varphi(k) - \psi(k)}{3^k}.\\ \therefore \frac{1}{3^n} - \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3^n} &= \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3^n}\\ &\le r_\varphi - r_\psi = 0. \end{aligned}\]

          これは矛盾であるから $\varphi = \psi$ であり $r$ は単射である。

    • (Q 6.11)

      \[\begin{aligned} \text{(i)}&\quad a, b \in \R, a < b \implies \operatorname{card}(\{x \in \R\,|\,a < x < b\}) = 2^{\aleph_0}.\\ \text{(ii)}&\quad \lvert \R \rvert = 2^{\aleph_0}. \end{aligned}\]
    • 基数 $\mathfrak{a}$ から新たな基数を作ることができる。 まず $c(\mathfrak{a}) \coloneqq \lbrace \mathfrak{b} \in \mathfrak{a} \,\mid\, \mathfrak{b} \ge \aleph_0\rbrace$ とおく。 すると順序数 $\alpha$ で $(c(\mathfrak{a}), \subset) \simeq \alpha$ となるものが確定する。 この $\alpha$ の基数を $\aleph_{\alpha}$ と書く。
    • $\aleph_1$ は $\aleph_0 < \aleph_1 \le 2^{\aleph_0}$ をみたす無限基数である。 もし $\aleph_1 < 2^{\aleph_0}$ ならば $\N \subsetneq S \subsetneq \R$ なる集合 $S$ が存在して $\aleph_0 < \lvert S \rvert < 2^{\aleph_0}$ ということになる。

    • 連続体仮説とは、次の内容の命題である：

      \[\aleph_1 = 2^{\aleph_0}.\]

    • 一般連続体仮説とは、次の（一般の順序数 $\alpha$ についての）命題をいう：

      \[\aleph_{\alpha +1} = 2^{\aleph_\alpha}.\]

以上で第 6 章のノートを終わる。