熊原啓作著『新訂解析学』第 9 章章末問題残りを解く。

留数の計算があまりにも手に余るようなら SymPy を活用することにする。

演習問題 9

\[\text{(7)}\quad I_7 = \int_C\! \mathrm{e}^{-1/z}\sin\frac{1}{z}\,\mathrm dz, \quad C = \{z\,|\, \lvert z \rvert = 1 \}.\]

解：わかりやすさのため置換積分 $z = 1/w$ を考える。 $\lvert z \rvert = 1$ はそのまま $\lvert w \rvert = 1$ に写るが、向きは反転する。

\[\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}w} = -\frac{1}{w^2}.\]

につき：

\[\begin{aligned} I_7 &= \int_C\! \mathrm{e}^{-1/z}\sin\frac{1}{z}\,\mathrm dz\\ &= -\int_{-C}\! \frac{\mathrm{e}^{-w}\sin w}{w^2}\,\mathrm dw\\ &= \int_{C}\! \frac{\mathrm{e}^{-w}\sin w}{w^2}\,\mathrm dw. \end{aligned}\]

被積分関数を $f_7(w)$ とおくと、$\sin w/w$ が $w = 0$ の除去可能な特異点であることに注意すれば、 これは $w = 0$ は 1 位の極である。留数計算が少し楽になり：

\[\begin{aligned} \operatorname{Res}(f_7(w)\colon 0) &= \lim_{w \to 0}w \frac{\mathrm{e}^{-w}\sin w}{w^2}\\ &= \lim_{w \to 0} \mathrm{e}^{-w} \cdot \lim_{w \to 0}\frac{\sin w}{w}\\ &= \mathrm{e}^0 \cdot 1\\ &= 1. \end{aligned}\]

留数定理により $I_7 = 2\pi i \cdot 1 = 2\pi i.$

コメント：教科書の解答と異なる。上の議論と計算で問題ないはずだが。

\[\text{(8)}\quad I_8 = \int_C\!\frac{2 + 3\sin\pi z}{z(z - 1)^2}\,\mathrm dz,\\ \begin{aligned} \\ C = {[3 + 3i, -3 + 3i]} + {[-3 + 3i, -3 - 3i]}\\ + {[-3 - 3i, 3 - 3i]} + {[3 - 3i, 3 + 3i]}. \end{aligned}\]

解：被積分関数を $f_8(z)$ とする。極は $0, 1$ であり、それぞれ 1, 2 位。どちらも曲線の定める領域内にある。 留数を計算すると

\[\def\Res#1#2{ \operatorname{Res}({#1}\colon {#2}) } \begin{aligned} \Res{f_8(z)}{0} &= \lim_{z \to 0} zf_8(z)\\ &= 2,\\ \Res{f_8(z)}{1} &= \lim_{z \to 1} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z} (z - 1)^2 f_8(z)\\ &= \lim_{z \to 1} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z} \frac{2 + 3\sin\pi z}{z}\\ &= \lim_{z \to 1} \frac{3\pi z\cos\pi z - 3\sin\pi z - 2}{z^2}\\ &= -3\pi - 2. \end{aligned}\]

よって元の積分は留数定理によりこうなるはずだ：

\[I_8 = 2\pi i(2 + (-3\pi - 2)) = -6\pi^2 i.\]

ただし教科書の解答と全然違う。

コメント：留数計算単体は SymPy でも確認している。

## from sympy import *

In [194]: f8 = (2 + 3*sin(S.Pi * z))/(z*(z - 1)**2)

In [195]: residue(f8, z, 0)
Out[195]: 2

In [196]: residue(f8, z, 1)
Out[196]: -3*pi - 2
\[\text{(9)}\quad I_9 = \int_C\! \frac{\mathrm dz}{(z^2 - 1)(z^3 - 1)},\quad \quad C = \{z\,|\, \lvert z \rvert = R \}, \quad R > 1.\]

解：$R > 1$ の指定は教科書にはないが、極がすべて単位円周上にある以上はそう仮定させてもらう。

$1$ の 3 乗根のうち虚部が正のものを $\omega$ とおくと、被積分関数 $f_9(z)$ の極は

\[(z - 1)(z + 1)(z - 1)(z - \omega)(z - \omega^2) = 0\]

より次の通り：

\[1, \omega, -1, \omega^2.\]

それぞれの位数を考慮して留数を計算する。$\omega^3 = 1$ や $\omega^2 + \omega + 1 = 0$ を上手く使うといい：

\[\def\Res#1#2{ \operatorname{Res}({#1}\colon {#2}) } \begin{aligned} \Res{f_9(z)}{1} &= \lim_{z \to 1} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z} \frac{1}{(z + 1)(z - \omega)(z - \omega^2)}\\ &= -\frac{1}{4},\\ \Res{f_9(z)}{\omega} &= \lim_{z \to \omega}\frac{1}{(z - 1)^2(z + 1)(z - \omega^2)}\\ &= \frac{1}{3(2\omega + 1)}\\ &= -\frac{\sqrt{3}i}{9},\\ \Res{f_9(z)}{-1} &= \lim_{z \to -1}\frac{1}{(z - 1)^2 (z - \omega)(z - \omega^2)}\\ &= \lim_{z \to -1}\frac{1}{(z - 1)^2 (z^2 + z + 1)}\\ &= \frac{1}{4},\\ \Res{f_9(z)}{\omega^2} &= \lim_{z \to -\omega}\frac{1}{(z - 1)^2(z + 1)(z - \omega)}\\ &= -\frac{1}{3(2\omega + 1)}\\ &= \frac{\sqrt{3}i}{9}. \end{aligned}\] \[\begin{aligned} \therefore I_9 &= 2\pi i\left(-\frac{1}{4} -\frac{\sqrt{3}i}{9} +\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3}i}{9}\right)\\ &= 0. \end{aligned}\]

ただし教科書の解答と全然違う。

\[\text{(10)}\quad I_{10} = \frac{1}{2\pi i}\int_C\!\frac{z \mathrm{e}^{tz}}{(z^2 + 1)^2}\,\mathrm dz, \quad C = \{ z \,|\, \lvert z \rvert = R\}, \quad R > 1, \quad t \in \R.\]

解：被積分関数の極は $\pm i$ でどちらも 2 位。いずれも曲線の囲む領域内の点だ。

\[\def\Res{ \operatorname{Res} } \begin{aligned} \Res(f_{10}(z)\colon i) &= -\frac{\mathrm{e}^{it}}{4}it.\\ \Res(f_{10}(z)\colon -i) &= \frac{\mathrm{e}^{-it}}{4}it.\\ \end{aligned}\]

留数定理を単純に適用して次の結果を得る：

\[\begin{aligned} \therefore I_{10} &= \frac{1}{2\pi i} \cdot 2\pi i \left(-\frac{\mathrm{e}^{it}}{4}it + \frac{\mathrm{e}^{-it}}{4}it\right)\\ &= -\frac{1}{2}\cdot it\cdot \frac{\mathrm{e}^{it} - \mathrm{e}^{-it}}{2}\\ &= -\frac{1}{2}\cdot i^2t\cdot \frac{\mathrm{e}^{it} - \mathrm{e}^{-it}}{2i}\\ &= \frac{t\sin t}{2}. \end{aligned}\]

何度見返しても教科書の用意している解答（だけ）と合わない問題が多い。困った。