熊原啓作著『新訂解析学』第 11 章の演習問題を解く。ただし本章の議論は読んでいない。

演習問題 11

11.1 完全微分であることを示した上で微分方程式を解け

\[\def\Q#1{\text{(#1)\quad}} \begin{aligned} \Q{1} & y\,\mathrm dx + x\,\mathrm dy = 0.\\ \Q{2} & (y^2 - 4)\,\mathrm dx + (2xy - \cos y)\,\mathrm dy = 0.\\ \Q{3} & (2xy + x^3)\,\mathrm dx + (x^2 + y^2)\,\mathrm dy = 0.\\ \Q{4} & \left(y - \frac{1}{x^2}\right)\mathrm dx + \left(x + \frac{1}{y}\right)\mathrm dy = 0. \end{aligned}\]

解： すべての問いにおいて左辺を $P(x, y)\,\mathrm dx + Q(x, y)\,\mathrm dy$ とおく。 そして $F_x = P \land F_y = Q$ を満たす関数 $F(x, y(x))$ を仮定する。

$(1)$ は $P_y = Q_x = 1$ ゆえ完全微分である。

次に $F$ を求める。$F_x = P$ の両辺を $x$ で不定積分する。

\[F = \int\!y\,\mathrm dx = xy + \varphi(y).\]

これを $y$ で偏微分すると

\[\begin{aligned} F_y &= x + \varphi^{\prime}(y) = Q = x.\\ \varphi^{\prime}(y) &= 0.\\ \therefore \varphi(y) &= C_1. \end{aligned}\]

以上をまとめて解は任意定数 $C, C_1$ を $C$ にまとめて：

\[xy = C.\]

$(2)$ $P_y = Q_x = 2y.$ ゆえに完全微分。

\[\begin{aligned} F &= \int\!P\,\mathrm dx = \int\!(y^2 - 4)\,\mathrm dx = xy^2 - 4x + f(y).\\ F_y &= 2xy + f^{\prime}(y) = Q = 2xy - \cos y.\\ f^{\prime}(y) &= -\cos y.\\ \therefore f(y) &= -\sin y + C_1.\\ \therefore F(x, y) &= xy^2 - 4x - \sin y + C_1. \end{aligned}\]

求める解は

\[xy^2 - 4x - \sin y = C.\]

$(3)$ は $P_y = Q_x = 2x.$ すなわち完全微分。

\[\begin{aligned} F &= \int\!P\,\mathrm dx = \int\!(2xy + x^3)\,\mathrm dx = x^2y + \frac{3}{4}x^4 + f(y).\\ F_y &= x^2 + f^{\prime}(y) = x^2 + y^2.\\ \therefore f(y) &= \frac{y^3}{3} + C_1. \end{aligned}\]

求める解は

\[x^2y + \frac{3}{4}x^4 + \frac{y^3}{3} = C.\]

$(4)$ は $P_y = Q_x = 1.$

\[\left(y - \frac{1}{x^2}\right)\mathrm dx + \left(x + \frac{1}{y}\right)\mathrm dy = 0.\] \[\begin{aligned} F &= \int\!P\,\mathrm dx = \int\left(y - \frac{1}{x^2}\right)\,\mathrm dx = xy + \frac{1}{x} + f(y).\\ F_y &= x + f^{\prime}(y) = Q = x + \frac{1}{y}.\\ \therefore f(y) &= \log y + C_1. \end{aligned}\]

求める解は：

\[xy + \frac{1}{x} + \log y = C.\]

コメント：$P(x, y)\,\mathrm dx + Q(x, y)\,\mathrm dy$ が完全微分であるとは、ある微分形式 $F$ が存在して

\[\mathrm dF = P(x, y)\,\mathrm dx + Q(x, y)\,\mathrm dy\]

を満たすことを意味する。右辺は 1-form だから、この場合 $F$ は 0-form すなわち単なる二変数関数だ。

このとき全微分の性質から $F_x(x, y) = P(x, y)$ かつ $F_y = Q(x, y)$ が成り立つ。つまり $C$ を任意の定数として次が成り立つ：

\[\begin{aligned} F_x(x, y) + F_y \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} &= 0.\\ \therefore \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(F(x, y(x))) &= 0.\\ \therefore F(x, y) &= C. \end{aligned}\]

以上が微分方程式の解の求め方だ。

ここで $F(x, y)$ が $C^2$ 級であるとする。このとき $F_{xy} = F_{yx}$ だから $P_y = F_{xy} = F_{yx} = Q_x.\;\therefore P_y = Q_x.$ これが完全微分であることの条件だ。