熊原啓作著『新訂解析学』第 11 章の演習問題を解く。ただし本章の議論は読んでいない。

演習問題 11

11.2 積分因子を何か発見して微分方程式を解け

\[\def\Q#1{\text{(#1)\quad}} \begin{aligned} \Q{1} & (2x - y)\,\mathrm dx + x(1 + xy)\,\mathrm dy = 0.\\ \Q{2} & (x^2y^2 + y)\,\mathrm dx + x\,\mathrm dy = 0.\\ \Q{3} & (x^2 + y^2 + 2x)\,\mathrm dx + 2y\,\mathrm dy = 0.\\ \Q{4} & (xy^2 - y)\,\mathrm dx + (x^2y + x)\,\mathrm dy = 0. \end{aligned}\]

解：すべての問いにおいて左辺を $P(x, y)\,\mathrm dx + Q(x, y)\,\mathrm dy$ とおく。 また、積分因子を $\mu(x, y)$ とおく。

$(1)$ $P_y = -1,\;Q_x = 1 + 2xy$ だから完全形式ではない。

$\mu(x, y) = x^my^n$ の形をしていると仮定すると、

\[\begin{aligned} \frac{\partial (\mu P)}{\partial y} &= \mu_y P + \mu P_y\\ &= nx^my^{n - 1}(2x - y) + x^my^n \cdot (-1).\\ &= 2nx^{m + 1}y^{n - 1} - nx^my^n - x^my^n\\ &= 2nx^{m + 1}y^{n - 1} - (n + 1)x^my^n.\\ \frac{\partial (\mu Q)}{\partial x} &= \mu_x Q + \mu Q_x\\ &= mx^{m - 1}y^n \cdot x(1 + xy) + x^my^n(1 + 2xy)\\ &= mx^my^n + mx^{m + 1}y^{n + 1} + x^my^n + 2x^{m + 1}y^{n + 1}\\ &= (m + 1)x^my^n + (m + 2)x^{m + 1}y^{n + 1}. \end{aligned}\]

両者が等しい条件は $m = -2,\;n = 0$ であるから、$\mu(x, y) = x^{-2}.$

\[\begin{aligned} F &= \int\!(\mu P)\,\mathrm dx = \int\!\frac{2x - y}{x^2}\,\mathrm dx\\ &= 2\log x + \frac{y}{x} + f(y).\\ F_y &= \frac{1}{x} + f^{\prime}(y) = \mu Q = \frac{1 + xy}{x} = \frac{1}{x} + y.\\ \therefore f^{\prime}(y) &= y.\\ \therefore f(y) &= y + C_1.\\ \end{aligned}\]

ゆえに

\[2\log x + \frac{y}{x} + y = C.\]

$(2)$ $P_y = 2x^2y + 1,\;Q_x = 1$ だから完全形式ではない。

$\mu(x, y) = x^my^n$ の形をしていると仮定すると、

\[\begin{aligned} \frac{\partial (\mu P)}{\partial y} &= \mu_y P + \mu P_y\\ &= nx^my^{n - 1}(x^2y^2 + y) + x^my^n(2x^2y + 1)\\ &= nx^{m + 2}y^{n + 1} + nx^my^n + 2x^{m+2}y^{n + 1} + x^my^n\\ &= (n + 2)x^{m + 2}y^{n + 1} + (n + 1)x^my^n.\\ \frac{\partial (\mu Q)}{\partial x} &= \mu_x Q + \mu Q_x\\ &= mx^{m-1}y^n x + x^my^n\\ &= (m + 1)x^my^n. \end{aligned}\]

したがって $m + 1 = n + 1$ かつ $n + 2 = 0$ だから $m = n = -2$ となって $\mu = x^{-2}y^{-2}$ が得られる。

\[\begin{aligned} F &= \int\!(\mu P)\,\mathrm dx = \int\!\frac{x^2y^2 + y}{x^2y^2}\,\mathrm dx\\ &= \int\!1 + \frac{1}{x^2y}\,\mathrm dx\\ &= x - \frac{1}{xy} + f(y).\\ F_y &= \frac{1}{xy^2} + f^{\prime}(y) = \mu Q = \frac{1}{xy^2}.\\ \therefore f^{\prime}(y) &= 0.\\ \therefore f(y) &= C_1. \end{aligned}\]

以上より求める解は：

\[x - \frac{1}{xy} = C.\]

$(3)$ $P_y = 2y,\;Q_x = 0$ だから完全形式ではない。

\[\begin{aligned} P_y - Q_x &= 2y.\\ \frac{P_y - Q_x}{Q} &= 1.\\ \end{aligned}\]

この第二式が $x$ にも $y$ にも依らないので、積分因子もそのようになる。

$(4)$ $P_y = 2xy - 1,\;Q_x = 2xy + 1$ だから完全形式ではない。

積分因子が $\mu = x^my^n$ であると仮定して $m, n$ を決定する：

\[\begin{aligned} \frac{\partial (\mu P)}{\partial y} &= \mu_y P + \mu P_y\\ &= nx^my^{n-1}(xy^2 - y) + x^my^n(2xy - 1)\\ &= (n + 2)x^{m+1}y^{n+1} - (n + 1)x^my^n.\\ \frac{\partial (\mu Q)}{\partial x} &= \mu_x Q + \mu Q_x\\ &= mx^{m-1}y^n (x^2y + x) + x^my^n(2xy + 1)\\ &= (m + 2)x^{m+1}y^{n+1} + (m + 1)x^my^n.\\ \end{aligned}\]

したがって $m = n,$ $m + 1 = -(n + 1)$ となって $m = n = -1,$ $\mu = x^{-1}y^{-1}$ である。

積分因子を決定したので、修正した微分方程式を解く：

\[\begin{aligned} F &= \int\!(\mu P)\,\mathrm dx = \int\!\frac{xy^2 - y}{xy}\,\mathrm dx\\ &= \int\!\left(y - \frac{1}{x}\right)\mathrm dx\\ &= xy - \log x + f(y).\\ F_y &= x + f^{\prime}(y) = \mu Q = \frac{x^2y + x}{xy} = x + \frac{1}{y}.\\ \therefore f^{\prime}(y) &= \frac{1}{y}\\ \therefore f(y) &= \log y + C_1. \end{aligned}\]

以上より求める解は：

\[xy - \log x + \log y = C.\]