無限基数について復習する。順序数と濃度・基数は一通り習ったものとする。

$\aleph$ 数、$\aleph$ 写像

$\aleph$ は無限整列集合、言い換えると順序数の濃度を意味する。

すべての基数は

  • 自然数であるか、
  • あるいは $\aleph$ 数

のどちらかである（要選出公理＝整列可能定理、以下単に選出公理とだけ記す）。

Wikipedia の定義に準じる。 まず「後続基数」を定義する必要がある。 任意の基数 $\mathfrak a$ に対して、それの次に大きな基数 $\mathfrak a^+$ を割り当てる操作としてそれを定義する （このような基数が存在することは選出公理を認める必要がある）。

順序数 $\alpha$ から基数への写像 $\aleph_{\alpha}$ を次のように超限帰納的に定義する：

\[\begin{aligned} \aleph_0 &\coloneqq \omega, && \text{basis for the induction.}\\ \aleph_{\alpha^+} &\coloneqq \aleph_{\alpha}{}^+, && \text{induction step.}\\ \aleph_{\alpha} &\coloneqq \bigcup_{\beta \lt \alpha}\aleph_\beta && \text{limit case}. \end{aligned}\]

$\alpha$ 番目の infinite initial ordinal を $\omega_\alpha$ と書く。 その濃度を $\aleph_\alpha$ と記す。 写像 $\aleph$ はそのような順序数から無限基数への一対一写像である（微妙な表現だが）。

可算濃度 $\aleph_0$

$0$ 番目の $\aleph$ 数である $\aleph_0$ が無限基数の中で最小の基数である。

$\aleph_0$ は最小の超限順序数 $\omega$ の基数として定義する。 したがって $\aleph_0$ は自然数全体の集合が持つ濃度に等しい。 そして自然数全体の集合と一対一対応のつく集合、可算集合が持つ濃度もまた $\aleph_0$ である：

  • 偶数全体の集合（具体的に写像を構成できる：$n \longmapsto 2n$ は全単射写像）
  • 奇数全体の集合
  • 素数全体の集合
  • 整数全体の集合
  • 有理数全体の集合（整数の直積の集合のようなものだから）
  • 代数的数全体の集合（有理数係数の多項式の集合と考えられるから）

順序数 $\omega+1, \omega\cdot2, \omega^2, \omega^\omega, \varepsilon_0$ は可算集合であることから、いずれの順序数も基数は $\aleph_0$ である。

非可算濃度 $\aleph_1$

$\aleph_1$ は可算な順序数すべての集合 $\omega_1$ の濃度である。 $\omega_1$ 自身は可算な順序数すべてよりも大きいので、非可算集合である。 $\aleph_0 \lt \aleph_1.$

選出公理を認めないならば、$\aleph_0$ と $\aleph_1$ の間には濃度は存在しない。

整理項目

  • 無限順序数の濃度は $\aleph$ を使って表現される。
  • 有限集合の濃度は $\aleph$ では表現されない。
  • 無限集合の濃度は $\aleph$ で表現されるということは、選出公理と同値である。

  • 無限基数 $\pi$ は（選出公理の下）加法と乗法のべき等元になる：

    \[\begin{aligned} \pi + \pi = \pi,\\ \pi \cdot \pi = \pi. \end{aligned}\]
  • $\aleph_1 \le 2^{\aleph_0}$
    • $\aleph_1 \lt 2^{\aleph_0}$ は Cantor の定理による。
    • 等号成立を Cantor の連続体仮説という。より一般に $\aleph_{X^+} = 2^{\aleph_X}$ を 一般連続体仮説という。そしてこの結論は ZFC からは何も言えないということが知られている。

参考資料

  • Aleph number - Wikipedia: 一通り目を通してから日本語版の存在に気づいたが、この記事については内容は同じなので問題ない。
  • cardinal number in nLab: $\aleph$ 数の記述を参考にした。