Daniel J. Velleman 著、神林靖訳『その理屈、証明できますか？』の $\LaTeX$ メモ。 数学の学習的にたいしたことは書かない。

数式集

数式というより論理式しかない。いつか再利用することを見込んで有用な $\LaTeX$ を記しておく。

恒真式の法則と恒偽式の法則

$\top, \bot$ は恒真式、恒偽式をそれぞれ意味する記号とする。

\[P \land \top \equiv P\\ P \lor \top \equiv \top\\ \lnot \top \equiv \bot\\\] \[P \land \bot \equiv \bot\\ P \lor \bot \equiv P\\ \lnot \bot \equiv \top\\\]

一意的存在性の証明技法

$\exists!xP(x)$ 型の証明に使える。次の論理式は全て同値：

\[\begin{aligned} 1. \quad &\exists x(P(x) \land \forall y(P(y) \implies y = x))\\ 2. \quad &\exists x \forall y (P(y) \implies y = x)\\ 3. \quad &\exists xP(x) \land \forall y \forall z((P(y) \land P(z) \implies y = z)) \end{aligned}\]