雪江明彦著『環と体とガロア理論』第 3 章ノート。

第 3 章 体論の基本

3.7 単拡大

目標：有限次分離拡大は単拡大であることを理解する。 例えば $\mathbb Q(\sqrt{2}, \sqrt{3})/\mathbb Q$ はある $\alpha$ があって $\mathbb Q(\sqrt{2}, \sqrt{3}) = \mathbb Q(\alpha)$ と書ける。

拡大次数個の準同型写像それぞれが相異なる像であるような $\alpha$ が生成元である。

定理（有限次分離拡大は単拡大である）： $L/K$ を有限次分離拡大とする。

このとき $\alpha \in L$ が存在して次を満たす： $L$ から $\overline{K}$ への相異なる $K$ 準同型 $\varphi, \psi$ があって $\varphi(\alpha) \ne \psi(\alpha)$ となるならば、$L = K(\alpha).$

検討：主張のような $\alpha$ が存在するならば、

\[\begin{aligned} [L : K] &= \lvert \operatorname{Hom}_K(L, \overline{K})\rvert\\ &\le \lvert \operatorname{Hom}_K(K(\alpha), \overline{K})\rvert\\ &\le [K(\alpha) : K]. \end{aligned}\]

したがって $K(\alpha) = K.$ 最初の等号は $\alpha \in K$ が $K$ 上分離的であることによる。 次の不等号は $K(\alpha) \subset L$ から、 最後の不等号は $K(\alpha)/K$ が有限次拡大であることによる。

証明：$K$ が有限体か無限体かで場合分けをする。

$K$ が有限体ならば有限次拡大 $L$ も有限体である。 乗法群 $K^\times$ は巡回群である。この生成元 $\alpha$ に対して $L = K(\alpha).$

$K$ が無限体であると仮定する。まず $n = 2$ の場合を証明する： $L = K(a_1, a_2)$ と仮定する。

$\alpha = a_1 + \lambda a_2$ $(\lambda \in K)$ という形のものを考える。 $\operatorname{Hom}_K(L, \overline{K}) \coloneqq \lbrace \varphi_1, \dotsc, \varphi_n \rbrace$ とおく。 ここで $\gamma_i \coloneqq \varphi_i(a_1),\; \delta_i \coloneqq \varphi_i(a_2)$ とおく。このとき $\varphi_i(\alpha) = \gamma_i + \lambda\delta_i.$

これらが相異なるようにとりたいので次のようにおく：

\[f(X) \coloneqq \prod_{i \ne j}((\gamma_i + \delta_i X) - (\gamma_j + \delta_j X)) \in \overline{K}[X].\]

$f(X)$ は零多項式ではない：零多項式だと仮定すると

\[(\gamma_i + \delta_i X) - (\gamma_j + \delta_j X) = (\gamma_i - \gamma_j) - (\delta_i - \delta_j)X\]

なので、ある $i \ne j$ に対して $\gamma_i - \gamma_j = \delta_i - \delta_j = 0.$ すなわち $\varphi_i(a_1) = \varphi_j(a_1)$ かつ $\varphi_i(a_2) = \varphi_j(a_2).$ $L = K(a_1, a_2)$ なので $\varphi_i = \varphi_j$ となって矛盾。 したがって背理法により $f(X)$ は零多項式ではない。

$K$ は無限体であるから、ある $\lambda \in K$ が存在して $f(\lambda) \ne 0.$ $\alpha \coloneqq a_1 + \lambda a_2$ とおくと $i \ne j \implies \varphi_i(\alpha) \ne \varphi_j(\alpha).$ したがって $\varphi_1\mid_{K(\alpha)}, \dotsc, \varphi_n\mid_{K(\alpha)}$ はすべて相異なる。

一般の $n$ の場合は $K(a_{n - 1}, a_n) = K(\alpha)$ をみたす $\alpha \in K(a_{n - 1}, a_n)$ が存在することが $n = 2$ の場合に示されているから、 $L = K(a_1, \dotsc, a_{n - 2}, \alpha)$ となることが言え、帰納法により $L$ は単拡大である。 $\blacksquare$

例：$\mathbb Q(\sqrt{2}, \sqrt{3}) = \mathbb Q(\alpha)$ なる $\alpha$ を一つ見つける。

ここでやった準同型写像 $\sigma_1, \sigma_2$ およびその合成写像 $\sigma_1 \circ \sigma_2$ について、像がすべて相異なるような $\alpha$ を一つ見つければよい。

\[\begin{aligned} \sigma_1(\sqrt{2}) &= -\sqrt{2},& \sigma_1(\sqrt{3}) &= \sqrt{3},\\ \sigma_2(\sqrt{2}) &= \sqrt{2},& \sigma_2(\sqrt{3}) &= -\sqrt{3} \end{aligned}\]

$\alpha \coloneqq \sqrt{2} + \sqrt{3}$ で十分なことを示す：

\[\begin{aligned} \sigma_1(\sqrt{2} + \sqrt{3}) &= \sigma_1(\sqrt{2}) + \sigma_1(\sqrt{3})\\ &= -\sqrt{2} + \sqrt{3}.\\ \sigma_2(\sqrt{2} + \sqrt{3}) &= \sigma_2(\sqrt{2}) + \sigma_2(\sqrt{3})\\ &= \sqrt{2} - \sqrt{3}.\\ \sigma_1 \circ \sigma_2(\sqrt{2} + \sqrt{3}) &= \sigma_1 \circ \sigma_2(\sqrt{2}) + \sigma_1 \circ \sigma_2(\sqrt{3})\\ &= -\sqrt{2} - \sqrt{3}. \end{aligned}\]

これらは $\alpha$ も含めすべて相異なる。 有限次分離拡大は単拡大である定理により、 $\mathbb Q(\sqrt{2}, \sqrt{3}) = \mathbb Q(\sqrt{2} + \sqrt{3}).$ $\blacksquare$