雪江明彦著『環と体とガロア理論』第 3 章ノート。

第 3 章 体論の基本

3.3 分離拡大

代数拡大 $L/K$ が分離拡大かつ正規拡大であると、$K$-自己同型群のサイズが拡大次数と等しくなり、 $\operatorname{Aut} _ K(L)$ からいい情報が得られる。

  • 重根の定義。高校と一緒。
  • 分離多項式＝代数閉包上で重根がない。
  • $\alpha$ の最小多項式が分離多項式となるか？ なるなら $\alpha$ は分離的だ。
  • $L/K$ が分離拡大＝代数拡大 $L/K$ のすべての元が $K$ 上分離的である。
  • $K$ が完全体＝$K$ の任意の代数拡大が分離拡大である。

定理（中間体上でも分離的）：$L/K$ は代数拡大で $L \supset M \supset K$ は中間体とする。 $\alpha \in L$ が $K$ 上分離的ならば $M$ 上分離的である。

証明：$f(X) \in K[X]$ と $g(X) \in M[X]$ をそれぞれ $K$ 上、$M$ 上の $\alpha$ の最小多項式とする。 このとき $g(X)$ は $f(X)$ を割り切る。すなわち $f(X)$ に重根がなければ $g(X)$ にも重根はない。 $\blacksquare$

大事：分離性の判定には微分が有効。

定理：$\alpha \in \overline{K}$ は $f(X) \in K[X]$ の重根である $\iff$ $f^{\prime}(\alpha) = 0.$

証明：$\implies:$ 重根であることから $f(X) = (X - \alpha)^2 g(X)$ と書けるような $g(X) \in \overline{K}[X]$ がある。これの微分をとれば

\[\begin{aligned} f^{\prime}(X) &= 2(X - \alpha)g(X) + (X - \alpha)^2g^{\prime}(X).\\ \therefore f^{\prime}(\alpha) &= 0. \end{aligned}\]

$\alpha$ が重根でないと仮定すると $g(\alpha) \ne 0.$ $\impliedby:$ $f(\alpha) = 0$ なので $f(X) = (x - \alpha)g(X)$ と書ける $g(X) \in \overline{K}[X]$ がある。 すると $f^{\prime}(X) = g(X) + (X - \alpha)g^{\prime}(X)$ において $f^{\prime}(\alpha) = g(\alpha) \ne 0$ となり $f^{\prime}(\alpha) = 0$ に矛盾する。したがって $\alpha$ は重根である。 $\blacksquare$

定理（分離多項式である条件）：$f(X) \in K[X]$ が $\overline{K}$ で重根を持たない $\iff$ $f(X)$ と $f^{\prime}(X)$ は互いに素である。

証明：$\implies:$ 両者が素でない場合は前定理の仮定が成り立つ。

$\impliedby:$ 両者が互いに素ならば Bézout の補題により $a(X)f(X) + b(X)f^{\prime}(X) = 1$ なる $a(X), b(X)\in K[X]$ がある。

$f(X)$ が $\alpha \in \overline{K}$ を重根にもつと仮定する。 このとき前定理に従い $f^{\prime}(\alpha) = 0$ が成り立つ。 しかし $a(\alpha)f(\alpha) + b(\alpha)f^{\prime}(\alpha) = 0 \ne 1$ で矛盾である。 したがって $f(X)$ はいかなる重根をももたない。 $\blacksquare$

この次の定理から標数が関係する。

定理（既約多項式に関する分離多項式の存在条件）：

$f(X)$ を $K$ 上既約な多項式とする。次が全て同値である：

  • $(1)$ $f(X)$ が $\overline{K}$ で重根をもつ
  • $(2)$ $f^{\prime}(X) = 0$
  • $(3)$ $K$ の標数は正であり、$f(X) = g(X^{p^n})$ をみたす $K$ 上既約な分離多項式 $g(X)$ と $n \gt 0$ がある

証明：$(1) \implies (2):$ $f(X)$ が代数閉包上で重根を持つことから、 分離多項式である条件により $f(X), f^{\prime}(X)$ は互いに素ではない。 したがって、ある定数でない $a(X) \in K[X]$ が存在して $f(X), f^{\prime}(X)$ を共に割り切る。

ここで $f(X)$ が既約であることから $f(X)$ は $a(X)$ の定数倍である。 したがって $f(X)$ は $f^{\prime}(X)$ を割り切る。 しかし $f^{\prime}(X) \ne 0$ ならば $\deg f^{\prime} \lt \deg f$ なので矛盾である。 ゆえに $f^{\prime} = 0.$ $\Box$

$(2) \implies (1):$ 分離多項式である条件から明らかだ。 $\Box$

$(2) \implies (3):$ $f(X) \coloneqq a_nX^n + \dotsb + a_0$ とおく。$f^{\prime}(X) = na_nX^{n - 1} + \dotsb + a_1 = 0$ となるときは $a_i \ne 0 \implies i = 0$ が条件。こういうのは正標数の体でしか起こらない： $p = \operatorname{char}K \gt 0$ とおくと $a_i \ne 0$ なる $i$ は $p$ の倍数。 すなわち $f(X)$ は $X^p$ の多項式の形をとる。

ある多項式 $g(X)$ があって $f(X) = g(X^p)$ となるのだが

  • $g(X)$ が可約ならば $f$ も可約になり $f$ の仮定に矛盾する。
  • $g(X) = 0$ が重根をもてばある多項式 $h(X)$ があって $g(X) = h(X^p)$ となるのだが
    • $h(X)$ が可約ならば $g$ も可約になり……
    • 重根をもたないようになるまで繰り返せば結論の形の分離多項式が存在する。

$(3) \implies (2):$ 標数 $p$ につき $f^{\prime}(X) = p^n X^{p^n - 1} g^{\prime}(X^{p^n}) = 0.$ $\blacksquare$

例：$K$ を標数 $p$ の体とする。$f(X) = X^p - X - a \in K[X]$ とする。 $\alpha \in \overline{K}$ が $f(\alpha) = 0$ を満たすならば、これは $K$ 上分離的である。 なぜなら $f^{\prime}(X) = pX^{p - 1} - 1 = -1 \ne 0$ であり前定理により $\alpha$ は $\overline{K}$ 上重根をもたない。$K$ 上分離的である。 $\blacksquare$

例題：$f(X) \coloneqq X^3 + 4X + 2 \in \mathbb F_p[X]$ が重根をもつような $p$ を決定しろ。

解：$f(X)$ と $f^{\prime}(X) = 3X^2 + 4$ が互いに素となる $p$ をさがす。

\[\begin{aligned} f(X) &= X^3 + 4X + 2 = \frac{1}{3}X(3X^2 + 4) + \frac{8}{3}X + 2\\ &= \frac{1}{3}X f^{\prime}(X) + r(X). \end{aligned}\]

Euclid によると $f(X), f^{\prime}(X)$ が互いに素 $\iff$ $\dfrac{1}{3}f^{\prime}(X), r(X)$ が互いに素。

$p = 2$ ならば $r(X) = 0$ より $f(X)$ は重根をもつ。

$p = 3$ ならばそもそも $f^{\prime}(X) = 1 \ne 0$ なので重根がない。

以下 $p \ne 2, 3$ と仮定する。$r(X)$ のかわりに $\dfrac{3}{2}r(X) = 4X + 3$ を使うと：

\[3X^2 + 4 = \left(\frac{3}{4}X - \frac{9}{16}\right)(4X + 3) + \frac{91}{16}.\]

$f(X)$ が重根をもつ $\iff$ $91 = 0$ が得られた。$91 = 7 \cdot 13$ ゆえ、求める解は $p = 2, 7, 13.$ $\blacksquare$

次の定理は与えられた拡大体が非分離的であるかを判定するのに利用できると思われる。

定理（体が非分離的である条件）：

$K$ を標数 $p \gt 0$ の体、$L/K$ を拡大体とする。 また $\alpha \in L\setminus K,:\alpha^{p^{N - 1}} \notin K,:\alpha^{p^N} \in K$ とする。

このとき $\alpha$ は $K$ 上非分離的であり $\alpha$ の $K$ 上の最小多項式は $X^{p^N} - \alpha^{p^N}$ である。

証明：$\operatorname{char}K = p$ から公式 $(x + y)^{p^N} = x^{p^N} + y^{p^N}$ が使える：

\[X^{p^N} - \alpha^{p^N} = (X - \alpha)^{p^N}.\]

これは $\alpha$ の $K$ 上の最小多項式が $g(X) = (X - \alpha)^n \in K[X]$ の形をしていることを意味する。

  • $n \lt p^N$ と仮定すると $\exists i(n = p^im)$ で $(m, p) = 1$ とすると $g(X) = (X^{p^i} - \alpha^{p^i})^m.$ 仮定より $\alpha^{p^i} \notin K$ であり

    \[g(X) = X^n - m\alpha^{p^i}X^{p^i(m - 1)} + \dotsb + (-1)^n \alpha^n\]

    となるが、$-m\alpha^{p^i} \notin K$ であり $g(X) \in K[X]$ に矛盾する。

  • したがって $n \ge p^N.$ つまり $g(X) = X^{p^N} - \alpha^{p^N}.$

    $g(X)$ には重根があるので $\alpha$ は $K$ 上非分離的である。 $\blacksquare$

定理（与えられた体が完全体である条件）：

$K$ が完全体 $\iff$

  • $K$ の標数がゼロ $\lor$
  • $K$ の標数が $p \gt 0$ かつ $K$ のすべての元の $p$ 乗根が $K$ にある。

証明：$\implies:$ $p \coloneqq \operatorname{char}K$ とおく。

$p \gt 0$ かつ $\exists \alpha \in \overline{K}\setminus K(\alpha^p \in K)$ ならば体が非分離的である条件により $X^p - \alpha^p$ は $K$ 上既約である。 しかしこれは重根をもつので $K$ が完全体であるという仮定に矛盾する。 ゆえに

  • $p = 0$ または
  • $p \ne 0 \land (\forall \alpha \in K \exists \beta \in K(\beta^p = \alpha)).$ $\Box$

$\impliedby:$ $\operatorname{char}K = 0$ ならば先述の既約多項式に関する分離多項式の存在条件から $K$ は完全体である。

$p \coloneqq \operatorname{char}K \gt 0$ のときを示す。 $f(X) \in K[X]$ を任意の既約多項式とする。これが分離多項式であることを示す。

まず、任意の $a \in K, n \gt 0$ について $a = b^{p^n}$ をみたす $b \in K$ が存在することに注意する （これは帰納法で示すことができるが略）。

$g(X) = X^m + a_1X^{m - 1} + \dotsb + a_m \in K[X]$ を $K$ 上既約な分離多項式で、$f(X) = g(X^{p^n})$ であるようにとる。 ところが $n \gt 0$ とはならない。 もし $n \gt 0$ ならば各 $i$ について $a_i = b_i^{p^n}$ をみたす $b_i \in K$ をとれる。 これを使うと

\[f(X) = (X^m + b_1X^{m - 1} + \dotsb + b_m)^{p^n}\]

と書けることになり、$f(X)$ が既約であることに矛盾する。 したがって $n = 0$ つまり最初から $f(X)$ は分離多項式である。

$f$ は任意だから、$K$ が完全体であることが示された。 $\blacksquare$

定理：標数 0 の体と有限体は完全体である。

証明：標数 0 の場合は先述の既約多項式に関する分離多項式の存在条件から $K$ は完全体である。

標数 $p \ne 0$ の場合、Frobenius 準同型を利用して $K$ の任意の元の $p$ 乗根が $K$ にあることを示す。

写像 $\varphi\colon K \longrightarrow K$ を $\varphi(x) = x^p$ とおく。 以前に述べたように $\varphi$ は単射準同型である。また、$K$ が有限集合であることから全射でもある。 したがって $\varphi$ は $K$ 同型写像である。 したがって $K$ のすべての元の $p$ 乗根が $K$ にある。 体が完全体である条件により、$K$ は完全体である。 $\blacksquare$

非分離拡大には度合がある。

定義：$K$ を正標数 $p$ の体、$L/K$ を拡大体とする。 次の条件を満たすとき $L$ を $K$ の純非分離拡大という：

\[\forall \alpha \in L \exists n \ge 0(\alpha^{p^n} \in K).\]
  • $K$ 自身は $K$ の純非分離拡大であるとみなす。

定理（純非分離拡大条件）：

$L/K$ を標数 $p \ne 0$ の拡大体とする。このとき $L/K$ が純非分離拡大 $\iff$ 任意の $\alpha \in L\setminus K$ が $K$ 上非分離的

証明：$\implies:$ これは体が非分離的である条件の定理による。 $\Box$

$\impliedby:$ $\alpha \in L\setminus K$ の最小多項式を $f(X)$ とする。 既約多項式に関する分離多項式の存在条件であるような、既約な分離多項式 $g(X)$ および数 $n \ge 0$ を $f(X) = g(X^{p^n})$ をみたすようにとる。

$\alpha^{p^n} \in L$ は $g(X)$ の根なので、$\deg g \gt 1$ ならば $L\setminus K$ が $K$ 上分離的な元を含み矛盾が生じる。よって $g$ は一次式。

$g(X) = X - t:(t \in K)$ とすると $\alpha^{p^n} = t \in K.$ $\alpha$ は任意だったから、$L/K$ は純非分離拡大であることが示された。 $\blacksquare$

目標：ある代数的拡大 $L/K$ が $K$ 上分離的な元で生成されていれば、 $L/K$ は分離拡大であることを示したい。

定理（準同型と共役の関係）：

$L/K$ を代数拡大、$\alpha \in L$ とする。 $\beta \in \overline{K}$ が $\alpha$ の $K$ 上の共役である $\iff$ $\beta = \varphi(\alpha)$ を満たす $L$ から $\overline{K}$ への $K$ 準同型 $\varphi$ が存在する。

証明：$\implies:$ $\beta$ が $\alpha$ の共役であることからただちに $\beta = \psi(\alpha)$ を満たす $K$ 準同型 $\psi\colon K(\alpha) \longrightarrow K(\beta)$ が存在する。

Steinitz の定理により、準同型写像 $\varphi\colon L \longrightarrow \overline{K}$ で $\psi$ の拡張であるものが存在する。 $\Box$

$\impliedby:$ $f(X) \in K[X]$ を $\alpha$ の最小多項式とする。

\[f(\beta) = f(\varphi(\alpha)) = \varphi(f(\alpha)) = \varphi(0) = 0.\]

したがって $\beta = \varphi(\alpha)$ は $\alpha$ の共役である。 $\blacksquare$

準同型の個数を考えるので、有限次拡大をまず調べる。

定理（準同型の個数）： $L/K$ を有限次拡大、$L \supset M \supset K$ をその中間体とする。

$\varphi \in \operatorname{Hom} _ K(M, \overline{K})$ の $\operatorname{Aut} _ K(\overline{K})$ への拡張 $\overline{\varphi}$ を定めておくと次の写像は全単射である：

\[\begin{aligned} \operatorname{Hom}_M(L, \overline{K}) \times \operatorname{Hom}_K(M, \overline{K}) &\longrightarrow \operatorname{Hom}_K(L, \overline{K})\\ (\psi, \varphi) &\longmapsto \overline{\varphi \circ \psi} \end{aligned}\]

したがってどちらかが有限ならば双方有限であり

\[\lvert \operatorname{Hom}_M(L, \overline{K}) \rvert \lvert \operatorname{Hom}_K(M, \overline{K}) \rvert = \lvert \operatorname{Hom}_K(L, \overline{K}) \rvert.\]

証明：準同型写像 $\lambda \in \operatorname{Hom}_K(L, \overline{K})$ を一つとる。 これを $M$ に制限したものを考える：

\[\varphi \coloneqq \lambda|_M \in \operatorname{Hom}_K(M, \overline{K}).\]

写像 $\psi \coloneqq \overline{\varphi^{-1} \circ \lambda}$ は $M$ 上恒等写像であるので $\psi \in \operatorname{Hom} _ M(L, \overline{K}).$

対応 $\lambda \longmapsto (\psi, \varphi)$ から写像が得られる。 これは主張の写像の逆である。 $\blacksquare$

定理（準同型の個数と分離的な元の関係）： $L/K$ を代数拡大で、ある $\alpha \in L$ があって $L = K(\alpha)$ とする。このとき

  • $\alpha$ が $K$ 上分離的 $\iff$ $\lvert \operatorname{Hom}_K(L, \overline{K})\rvert = [L : K].$
  • $\alpha$ が $K$ 上非分離的 $\iff$ $\lvert \operatorname{Hom}_K(L, \overline{K})\rvert \lt [L : K].$

証明：$\implies:$ $f(X)$ を $\alpha$ の $K$ 上の多項式とする。$n \coloneqq \deg f(X) = [L : K]$ とおく。

$f(X) = (X - \alpha_1)\dotsb(X - \alpha_n)\;(\alpha_i \in \overline{K})$ とする。 最小多項式の性質から $\varphi_i(\alpha) = \alpha_i$ をみたす $K$ 同型写像 $\varphi_i\colon L \longrightarrow K(\alpha_i) \subset \overline{K}$ がある。

逆に $\psi\colon L \longrightarrow \overline{K}$ が $K$ 準同型ならばある $i$ について $\psi(\alpha) = \alpha_i.$ $L = K(\alpha)$ であるから写像 $\psi$ は $\psi(\alpha)$ で決定する。 ということは $\lvert \operatorname{Hom}_K(L, \overline{K})\rvert$ は $\alpha_1, \dotsc, \alpha_n$ の相異なるものの個数に等しい。 したがって

  • $\alpha$ が $K$ 上分離的 $\implies \lvert \operatorname{Hom}_K(L, \overline{K})\rvert = n.$
  • $\alpha$ が $K$ 上非分離的 $\implies \lvert \operatorname{Hom}_K(L, \overline{K})\rvert < n.$

$\impliedby:$ 上記の対偶をとればいい。 $\blacksquare$

定理（有限次の分離拡大の拡大次数）： $L/K$ が有限次拡大ならば

  • $(1)$ $\lvert \operatorname{Hom}_K(L, \overline{K})\rvert \le [L : K].$
  • $(2)$ $L/K$ が分離拡大 $\iff \lvert \operatorname{Hom}_K(L, \overline{K})\rvert = [L : K].$

証明：有限次拡大なので $\exists \alpha_1, \dotsc, \exists \alpha_r \in L(L = K(\alpha_1, \dotsc, \alpha_r)).$

$L_i \coloneqq K(\alpha_1, \dotsc, \alpha_i)$ とおく。 $\forall i(\overline{L_i} = \overline{K})$ である。

$(1):$ 準同型の個数に関する定理により

\[\lvert \operatorname{Hom}_K(L, \overline{K} )\rvert = \lvert \operatorname{Hom}_K(L_1, \overline{K})\rvert \lvert \operatorname{Hom}_{L_1}(L_2, \overline{K})\rvert \dotsb \lvert \operatorname{Hom}_{L_{r-1}}(L_r, \overline{K})\rvert.\]

$L_i = L_{i - 1}(\alpha_i)$ であるので、準同型の個数と分離的な元の関係より $\operatorname{Hom} _ {L_{i-1}}(L_i, \overline{K}) \le [L_i : L_{i - 1}].$ したがって

\[\tag*{$\spadesuit$} \begin{aligned} &\phantom{\le} \lvert \operatorname{Hom}_K(L_1, \overline{K})\rvert \lvert \operatorname{Hom}_{L_1}(L_2, \overline{K})\rvert \dotsb \lvert \operatorname{Hom}_{L_{r-1}}(L_r, \overline{K})\rvert\\ &\le [L_r : L_{r - 1}]\dotsb[L_2 : L_1][L_1 : K]\\ &= [L : K]. \end{aligned}\]

$\Box$

$(2) \implies:$ $L/K$ を分離拡大と仮定する。このとき $\alpha_1, \dotsc, \alpha_r$ は $K$ 上分離的であるので 中間体上でも分離的である定理により $\alpha_i$ は $L_{i - 1}$ 上分離的である。 準同型の個数と分離的な元の関係によりすべての $i$ について $\lvert \operatorname{Hom} _ {L_{i-1}}(L_i, \overline{K})\rvert = [L_i : L_{i-1}].$ したがって $\spadesuit$ より

\[\lvert \operatorname{Hom}_K(L_i, \overline{K})\rvert = [L_r : L_{r - 1}]\dotsb[L_2 : L_1][L_1 : K] = [L : K].\]

$\impliedby:$ $\lvert \operatorname{Hom} _ K(L_i, \overline{K})\rvert = [L : K]$ を仮定する。 $\alpha \in L,\; M = K(\alpha)$ とする。 再び準同型の個数に関する定理と $(1)$ より

\[\begin{aligned} \lvert \operatorname{Hom}_K(L, \overline{K})\rvert &= \lvert \operatorname{Hom}_M(L, \overline{K})\rvert \lvert \operatorname{Hom}_K(M, \overline{K})\rvert\\ &\le [L : M][M : K] = [L : K]\\ &= \lvert \operatorname{Hom}_K(L, \overline{K}) \rvert. \end{aligned}\]

したがって $\lvert \operatorname{Hom} _ K(M, \overline{K})\rvert = [M : K].$ $M = K(\alpha)$ および準同型の個数と分離的な元の関係により $\alpha$ は $K$ 上分離的である。$\alpha \in L$ は任意だから $L/K$ は分離拡大であることが示された。 $\blacksquare$

定理（代数拡大かつ分離的拡大は推移的）：$L/M, M/K$ を代数拡大かつ分離的拡大とする。このとき $L/K$ もまた代数拡大かつ分離的拡大である。

証明：$[L : K] \lt \infty$ の場合は前定理などによりただちに成り立つ。

$\alpha \in L$ とする。 $f(X) \coloneqq X^n + a_1X^{n - 1} + \dotsb + a_0 \in M[X]$ を $\alpha$ の $M$ 上の最小多項式とする。

$F_1 \coloneqq K(a_1, \dotsc, a_n)$, $F_2 \coloneqq F_1(\alpha) = K(a_1, \dotsc, a_n, \alpha)$ とおくと、 $F_1/K, F_2/F_1$ は有限次拡大である。したがって $F_2/K$ は有限次拡大である。

$F_1 \subset M$ より $F_1/K$ は分離拡大。 $L/M$ が分離拡大であることから $f(X)$ は分離的である。 準同型の個数と分離的な元の関係の定理と有限次の分離拡大の拡大次数の定理の $(2)$ により $F_2/F_1$ は分離拡大である。 有限次拡大の場合により $F_2/K$ は分離拡大である。 したがって $\alpha \in L$ は $K$ 上分離的である。 $\alpha$ は任意としたから $L/K$ は分離拡大である。 $\blacksquare$

定理（系）：$L = K(\alpha_1, \dotsc, \alpha_n)$ が $K$ の有限次拡大であるとする。 このとき $\alpha_1, \dotsc, \alpha_n$ が $K$ 上分離的であるならば $L/K$ は分離拡大である。

証明：$L_i \coloneqq K(\alpha_1, \dotsc, \alpha_i)$ とおく。 中間体上でも分離的の定理により $\alpha_i$ は $L_{i - 1}$ 上分離的である。 準同型の個数と分離的な元の関係の定理と有限次の分離拡大の拡大次数の定理の $(2)$ により $L_i/L_{i-1}$ は分離拡大である。 代数拡大かつ分離的拡大は推移的の定理により、$L/K$ は分離的である。 $\blacksquare$

定義：代数拡大 $L/K$ において $L$ の元で $K$ 上分離的なものを全部集めたものを $L_s$ と書いてこれを $K$ の $L$ における分離閉包という。

$K$ の $\overline{K}$ における分離閉包を $K^s$ と書いてこれを $K$ の分離閉包という。

定理（分離閉包の性質）：

  • $L_s$ は $L$ の部分体になっている。
  • $L/L_s$ は純非分離拡大である。

証明：$\alpha, \beta \in L_s\setminus 0$ とする。 前述の系によると $K(\alpha, \beta)$ は分離拡大である。 これは $\alpha \pm \beta \in L_s, \alpha\beta \in L_s, \alpha/\beta \in L_s$ を意味する。 したがって $L_s$ は体であることが示された。

$\operatorname{char}K = 0$ ならば $L = L_s$ であるので $L/L_s$ は純非分離拡大である。

$\operatorname{char}K = p \ne 0$ ならば体が非分離的である条件の定理から $\alpha \in L$ に対して $K$ 上既約な分離多項式 $g(X)$ と $n \ge 0$ が存在して $g(\alpha^{p^n}) = 0$ を満たす。 したがって $\alpha^{p^n} \in L_s$ となるので $L/L_s$ は純非分離拡大である。 $\blacksquare$

  • 定義：$L/K$ が有限次拡大のとき
    • $[L:K]_s \coloneqq [L_s:K]$ を $L$ の $K$ 上の分離次数という。
    • $[L:K]_i \coloneqq [L:L_s]$ を $L$ の $K$ 上の非分離次数という。

例：$L \coloneqq \mathbb F_3(T),\;K = \mathbb F_3(T^6)$ とする。

$M \coloneqq \mathbb F_3(T^3) = \mathbb F_3(T^6)(T^3) = K(T^3)$ とすれば $T^3$ は $f(X) \coloneqq X^2 - T^6 \in K[X]$ の根である。 $T^3 \notin K$ だから $f(X)$ は既約。$f^{\prime}(X) = 2X \ne 0.$ したがって $M/K$ は分離拡大であり $[M : K] = 2.$

$T \notin M \land T^3 \in M$ なので $T$ は $M$ 上非分離的。 $[L : M] = 6/2 = 3$ は素数であるから $[L : M]_i = [L : M] = 3.$ したがって $[L : K]_s = 2, [L : K]_i = 3$ で $M = L_s.$

定理（分離次数の公式）： $L/K$ を有限次拡大体とする。

  • $(1)$ $F/L$ が純非分離拡大 $\implies$ $K$ 準同型 $\varphi\colon L \longrightarrow \overline{K}$ の定義域を $\overline{F}$ に一意的に拡張できる。
  • $(2)$ $[L : K]_s = \lvert \operatorname{Hom} _ K(L, \overline{K})\rvert.$

証明：$(1):$ 拡張できること自体は Steinitz の定理による。 $F \ne L$ ならば $p \coloneqq \operatorname{char}F \ne 0.$ $\alpha \in F$ ならある $n$ があって $\alpha^{p^n} \in L.$ すなわち $\varphi(\alpha)^{p^n} = \varphi(\alpha^{p^n}).$

方程式 $X^{p^n} = \varphi(\alpha^{p^n})$ の根は一つしかないので $\varphi(\alpha)$ は $\varphi(\alpha)^{p^n}$ より定まり、 したがって $\varphi$ の拡張は一意的である。 $\Box$

$(2):$ $L_s$ を $L$ における $K$ の分離閉包とする。 $L_s/K$ が有限次拡大であることから

\[[L_s : K] = [L : K]_s = \lvert \operatorname{Hom}_K(L_s, \overline{K})\rvert.\]

$\operatorname{Hom} _ K(L_s, \overline{K})$ の元が $\operatorname{Hom} _ K(L, \overline{K})$ の元に一意的に拡張できることが $(1)$ で示されたので

\[[L : K]_s = \lvert \operatorname{Hom}_K(L_s, \overline{K}) \rvert = \lvert \operatorname{Hom}_K(L, \overline{K}) \rvert.\]

$\blacksquare$

分離次数の公式と準同型の個数の二つの定理を合わせると：

\[\begin{aligned} [L : K]_s &= [L : M]_s [M : K]_s,\\ [L : K]_i &= [L : M]_i [M : K]_i.\\ \end{aligned}\]

本節の最後に例が続く（別のところでいう固定群を決定するような感じ）。

例：$d \ne 1$ を平方因子をもたない整数とする。 $\operatorname{char}(\mathbb Q(\sqrt{d})) = 0$ なので $\mathbb Q(\sqrt{d})/\mathbb Q$ は分離拡大。 したがって $\lvert \operatorname{Hom} _ {\mathbb Q}(\mathbb Q(\sqrt{d}), \overline{\mathbb Q}) \rvert= 2.$

写像 $\sigma \in \operatorname{Hom} _ {\mathbb Q}(\mathbb Q(\sqrt{d}), \overline{\mathbb Q})$ とする。 準同型と共役の関係により $\sigma(\sqrt{d}) = \pm{\sqrt{d}}.$ プラスのほうは恒等写像であるので、マイナスの方を改めて $\sigma$ とおくと：

\[\def\L{ \mathbb Q(\sqrt{d}) } \operatorname{Hom}_{\mathbb Q}(\L, \overline{\mathbb Q}) = \{ \operatorname{id}_{\L}, \sigma \}.\]

例：$L \coloneqq \mathbb Q(\sqrt{2}, \sqrt{3}).$

  • $L/\mathbb Q$ は分離拡大である。
    • $\because \operatorname{char}L = 0.$
  • $[L : \mathbb Q] = 4.$
    • 以前基底を一つ求めた $\lbrace 1, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{6}\rbrace$ ことから。

以下 $L$ から $\overline{\mathbb Q}$ への準同型写像をすべて決定する。 準同型写像 $\sigma$ は準同型と共役の関係から $\sqrt{2}, \sqrt{3}$ をそれぞれ共役に写す。

\[\sigma(\sqrt{2}) = \pm \sqrt{2}, \sigma(\sqrt{3}) = \pm \sqrt{3}.\]

$\sqrt{2}, \sqrt{3}$ は $L$ の $\mathbb Q$ 上の生成元なので $\sigma$ は $\sigma(\sqrt{2})$ と $\sigma(\sqrt{3})$ で確定する。

  • $4 = [L : \mathbb Q] = \lvert \operatorname{Hom} _ {\mathbb Q}(L, \overline{\mathbb Q})\rvert$

したがって $\sigma_1, \sigma_2 \in \operatorname{Hom} _ {\mathbb Q}(L, \overline{\mathbb Q})$ で

\[\begin{aligned} \sigma_1(\sqrt{2}) &= -\sqrt{2},& \sigma_1(\sqrt{3}) &= \sqrt{3},\\ \sigma_2(\sqrt{2}) &= \sqrt{2},& \sigma_2(\sqrt{3}) &= -\sqrt{3} \end{aligned}\]

となるものが存在する。よって：

\[\operatorname{Hom}_{\mathbb Q}(L, \overline{\mathbb Q}) = \{ \operatorname{id}_L,\;\sigma_1,\;\sigma_2,\;\sigma_1 \circ \sigma_2\}.\]

例：$L \coloneqq \mathbb Q(\sqrt[3]{2}).$

  • $\sqrt[3]{2}$ の $\mathbb Q$ 上の最小多項式は $X^3 - 2.$
  • $\sqrt[3]{2}$ の $\mathbb Q$ 上の共役は $\sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{2}\omega, \sqrt[3]{2}\omega^2.$
\[\operatorname{Hom} _ {\mathbb Q}(L, \overline{\mathbb Q}) = \{ \varphi_1 = \operatorname{id}_L,\; \varphi_2,\; \varphi_3\}.\]

ここで $\varphi_2(\sqrt[3]{2}) = \sqrt[3]{2}\omega,\; \varphi_3(\sqrt[3]{2}) = \sqrt[3]{2}\omega^2.$

$\varphi_2(L) \not\subset L, \varphi_3(L) \not\subset L$ に注意する。

TODO: 整理しよう。