巡回 Kummer 拡大について学習する。

参照：桂利行著『代数学 III 体とガロア理論』

巡回 Kummer 拡大

定理（巡回 Kummer 拡大）： $K$ を $1$ の原始 $h$ 乗根を含む標数 $p$ の体とする。 ただし $p \ne 0$ のときは $p \nmid h$ であるとする。

$(1)$ $X^h - a \in K[X]\;(a \in K, a \ne 0)$ の最小分解体を $L$ とすれば、$X^h - a = 0$ のある根 $\alpha$ が $L = K(\alpha)$ が成り立つように存在する。 このとき $L/K$ は巡回拡大であり、$[L : K] \mid h.$

$(2)$ $L/K$ が $h$ 次の巡回拡大であるならば、ある $a \in K$ が存在して $L$ が $X^h - a \in K[X]$ の最小分解体である。

証明： $(1):$ $f(X) \coloneqq X^h - a = 0$ の根の一つを $\alpha$ とする。

$f(X)$ が分解多項式であることを示す。 仮に $f(X)$ が分解多項式ではないとすると、$f^{\prime}(X) = 0.$ つまり $hX^{h - 1} = 0$ だが $p \nmid h$ であるから $X = 0$ となる。 ところが $f(0) = -a = 0$ となり $a \ne 0$ に矛盾する。 したがって $f(X)$ が分解多項式であることが示された。

$f(X) = X^h - a$ が分解多項式であることから、$1$ の原始 $h$ 乗根を $\zeta$ とすると次の形に書き表せる：

\[f(X) = (X - \alpha)(X - \alpha\zeta)\dotsb(X - \alpha\zeta^{h - 1}).\]

したがって $L/K$ は正規拡大であり、

\[\begin{aligned} L &= K(\alpha, \alpha\zeta, \dotsc, \alpha\zeta^{h - 1})\\ &= K(\alpha, \zeta)\\ &= K(\alpha) & \because \zeta \in K. \quad\Box \end{aligned}\]

$L/K$ は分離拡大かつ正規拡大であることから、Galois 拡大である。

次にこれが巡回拡大であることを示す。 $G \coloneqq \operatorname{Gal}(L/K)$ とおく。

任意の $\sigma \in G$ に対して $\alpha$ が根ならば $\sigma(\alpha)$ も根である。 すなわち、ある $i \in \Z$ が存在して $\sigma(\alpha) = \alpha\zeta^i$ が成り立つ。 もう一つ $\tau \in G$ をとって $\tau(\alpha) = \alpha\zeta^j$ が成り立つような $j \in \Z$ がある。

\[\begin{aligned} \sigma = \tau &\iff \sigma(\alpha) = \tau(\alpha)\\ &\iff \alpha\zeta^i = \alpha\zeta^j\\ &\iff \zeta^{i - j} = 1\\ &\iff h \mid (i - j). \end{aligned}\]

であることから、群の準同型写像 $\varphi \colon G \longrightarrow Z_h,$ $\varphi(\sigma) = i$ が考えられる。上に述べたことから $\varphi$ は単射である。 したがって $G$ は巡回群であることが示された（群論）。

群論の Lagrange の定理から $G$ の位数は $\lvert Z_h \rvert = h$ の倍数である。 したがって $[L : K] = \lvert G \rvert$ は $h$ を割り切る。 $\Box$

$(2):$ 巡回拡大の Galois 群を $G = \langle \sigma \rangle$ とおく。$\sigma^h = 1.$

Dedekind の補題により次のような $\theta \in L$ が存在する：

\[0 \ne \alpha = \theta + \zeta^{-1}\sigma(\theta) + \dotsb + \zeta^{-i}\sigma^i(\theta) + \dotsb + \zeta^{-(h - 1)}\sigma^{h - 1}(\theta).\]

両辺の $\sigma$ による像をとると：

\[\begin{aligned} \sigma(\alpha) &= \sigma(\theta) + \zeta^{-1}\sigma^2(\theta) + \dotsb + \zeta^{-(h - 1)}\sigma^h(\theta)\\ &= \alpha\zeta.\\ \therefore \sigma^i(\alpha) &= \alpha\zeta^i. \end{aligned}\]

このことから $i = 0, \dotsc, h - 1$ に対して $\zeta^i$ の値はすべて相異なる。

$\alpha$ の $K$ 上の最小多項式を $q(X)$ とすれば

\[\deg q(X) = [K(\alpha) : K] \le [L : K] = h.\]

また $q(\alpha) = 0$ から $q(\sigma^i(\alpha)) = \sigma^i(q(\alpha)) = 0.$ $q(X)$ は相異なる $h$ 個の根を持つ。したがって $\deg q(X) = h$ かつ $L = K(\alpha)$ が示された。

ある $a \in K$ とは $a = \alpha^h$ であることを示す。

\[\sigma^i(\alpha^h) = (\sigma^i(\alpha))^h = (\alpha\zeta^i)^h = \alpha^h\]

だから $\alpha^h$ は $L$ に対する $G$ の固定体に含まれる。その固定体は $K$ に等しいので $a \coloneqq \alpha^h \in K$ とおけば $\alpha$ は $X^h - a = 0$ の根であり、次数の比較から $q(X) = X^h - a$ が示される。 $\blacksquare$

定義：巡回 Kummer 拡大とは、上記定理の条件を満たす拡大体のことをいう。

定義（Lagrange の分解式）： 3 次方程式の根の公式のノートで先走った。

命題（巡回 Kummer 拡大の生成元）： $K$ を $1$ の原始 $h$ 乗根をすべて含む標数 $p$ の体とする。 ただし $p \ne 0$ のときは $p \nmid h$ であるとする。

$K(\theta)/K$ を $h$ 次の巡回 Kummer 拡大とし $\operatorname{Gal}(K(\theta)/K) = \langle \sigma \rangle$ とする。

このとき $(\zeta, \theta)^h \in K$ であり

\[\tag*{$\spadesuit$} \theta = \frac{1}{h} \sum_\zeta(\zeta, \theta).\]

ここで和は $1$ の $h$ 乗根全体にわたってとるものとする （和のとり方の例は 3 次方程式の根の公式のノートを参照）。

証明：$(\zeta, \theta)^h \in K$ を示す。

$\sigma \in \operatorname{Gal}(K(\theta)/K)$ の分解式への作用は次のようになる：

\[\begin{aligned} \sigma((\zeta, \theta)) &= \sigma(\theta + \zeta^{-1}\sigma(\theta) + \dotsb + \zeta^{-(h - 1)}\sigma^{h - 1}(\theta))\\ &= \sigma(\theta) + \zeta^{-1}\sigma^2(\theta) + \dotsb + \zeta^{-h}\sigma^{h - 1}(\theta)\\ &= \zeta(\zeta, \theta). & \because \sigma(x) = \zeta x \end{aligned}\]

したがって

\[\sigma((\zeta, \theta)^h) = \zeta^h(\zeta, \theta)^h = (\zeta, \theta)^h.\]

したがって $(\zeta, \theta)^h \in K^{\langle\sigma\rangle} = K$ であることが示された。 $\Box$

次に等式 $\spadesuit$ が成り立つことを示す。$\zeta_h$ を $1$ の原始 $h$ 乗根の一つとする。 $\zeta$ が $1$ の原始 $h$ 乗根全体にわたることは $\zeta\zeta_h$ も $1$ の原始 $h$ 乗根全体にわたることになる。 したがって $k \in \N$ に対して次が成り立つ：

\[\begin{aligned} \sum_\zeta \zeta^k &= \sum_\zeta (\zeta\zeta_h)^k\\ &= \left(\sum_\zeta \zeta^k\right)\zeta_h^k \end{aligned}\]

$h \nmid k$ である $k$ に対しては $\zeta_h^k \ne 1$ だから上の式の大きい丸括弧内は $0$ に等しい （わかりにくければ $X^h - 1 = (X - 1)(\dots)$ の $\dots$ 部分が $0$ であることを思えばいい）。

したがって

\[\begin{aligned} \frac{1}{h} \sum_\zeta(\zeta, \theta) &= \frac{1}{h} \sum_\zeta \theta + \frac{1}{h} \sum_\zeta \zeta^{-1}\sigma(\theta) + \dotsb + \frac{1}{h} \sum_\zeta \zeta^{-(h - 1)}\sigma^{h - 1}(\theta)\\ &= \theta. \end{aligned}\]

したがって等式 $\spadesuit$ が成り立つことが示された。 $\blacksquare$

このとき $K(\theta) = K((\zeta, \theta))$ が成り立つ。 これを Cardano の公式を調べるときに応用した。

命題（巡回 Kummer 拡大と $1$ の素数乗根）： $q$ を素数とし、$K$ を $1$ の $q$ 乗根を含む標数 $p$ の体とする。 ただし $p \ne 0$ のときは $p \ne q$ とする。

このとき多項式 $X^q - a\;(a \in K)$ は既約であるか一次式の積に分解するかのいずれか一方が成り立つ。

証明：$L/K$ を $X^q - a$ の分解体とするとこれは巡回 Kummer 拡大である。 したがって $\operatorname{Gal}(L/K)$ は巡回群 $Z_q$ の部分群である。 $q$ は素数だから部分群は二通りしか考えられない。

  • $\operatorname{Gal}(L/K) \cong Z_q$ ならば $[L : K] = q$ であることから $X^q - a$ が既約であることが必要である。
  • $\operatorname{Gal}(L/K) = 1$ ならば $[L : K] = 1$ つまり $L = K$ であり $X^q - a$ の根すべてがすでに $K$ に含まれている。 $\blacksquare$