今回は特殊なエンディング演出はなさそうなので安心して寝る。久々に RPG にどっぷりハマった。 ヒーリングタイムが「ねこの足跡」でうれしい。

8:55 起床。体がだるくて目が覚めたのに眠いという体調不良だ。 風呂場の床がまだ濡れている。朝飯は納豆とおにぎり二個。ニュースはよくわからない。

先週の就労活動報告（ペラ一枚）を更新する。あさって報告しに行くのにみっともない内容だ。

午前中は心を入れ替えて麻雀コードを進める。チーとポンを確定する関数。 試作版とはいえ「どこから鳴いたのか」を表す列挙型を定義することが頭から完全に抜けていたのは何だろう。

11:45 PC 作業をやめる。外出の準備をして外出。暑そうだ。

月曜なので三省堂書店経由で、暑いのでいきなりハローワーク墨田に向かう。 長めに検索を続けるが私の食い付けそうな求人がここのところ枯れている。

気分を変えて錦糸町の理髪店に移動。今日は月曜日だと言ったはずだ。休み。

14:25 カスミオリナス錦糸町店。157 円。

  • スナック S ツナ＆マヨ
  • すっぱムーチョ

噴水前のベンチでおやつ休憩。それから横川コミュニティー会館図書室に移動。暑い。 柳島児童遊園で水浴びできるのがありがたい。図書室で新聞と教科書を読む。 二項分布、大数の法則、Poisson 分布しか習う時間がない。

オリナスに戻る。ヤマダ電機を経てタイトー F ステーションオリナス錦糸町店に移動。 ビートマニアと MJ で 5 クレ叩く。どうしてトップが掴めない？

【SCORE】
合計SCORE:-99.2

【最終段位】
四人打ち段位:魔神 幻球:4

【7/20の最新8試合の履歴】
1st|--------
2nd|****----
3rd|------**
4th|----**--
old         new

【順位】
1位回数:0(0.00%)
2位回数:4(50.00%)
3位回数:2(25.00%)
4位回数:2(25.00%)
平均順位:2.75

プレイ局数:38局

【打ち筋】
アガリ率:10.53%(4/38)
平均アガリ翻:4.25翻
平均アガリ巡目:12.50巡
振込み率:7.89%(3/38)

【7/20の最高役】
・跳満

麻雀ワンゲームでトップを穫れる確率を単純に 1/4 とする。 8 ゲーム連戦して一度もトップになれない確率は約 10 パーセントだ。 こういうのが連日だからうんざりする。

18:55 カスミオリナス錦糸町店。336 円。きくらげと豚肉の炒め丼。

19:20 ビッグエー墨田業平店。193 円。

  • シュークリーム
  • ふっくらおむすび各種 (2)

向島の部屋に戻る。水浴びをして晩飯。PC を開いて帳簿作業。 電話ボックスへ移動。外は涼しくなったがブース内は暑い。扉を開放しても暑い。

20:30 部屋に戻って風呂に入る。よく見ると浴室の壁の下の方がカビまみれ。掃除。 シャワーを浴びて出る。掃除とは関係なく、いくら体を洗ってもわけのわからない匂いが取れない。

21:10 ダウンロードした髭アーカイブの一部を再生して楽しむ。 地獄の伯爵令嬢のアイテム集めを続ける。いろいろ変な名前の装備品が集まる。

クラニウムシェイカーは両手持ちとあるが、盾を装備できるぞ？

雨が降ってくる。

Math Notes

薩摩順吉著『確率・統計』についてのノート。

二項分布。事象 $A$ が起こる確率を $p$ とし、その $n$ 回の独立試行をするときに $A$ がちょうど $x$ 回起こる確率は：

\[Bin(n, x) \coloneqq \binom{n}{x}p^x(1 - p)^{n - x}.\]

この確率分布を二項分布という。以下 $Bin(n, x)$ で表す。

$Bin(n, x)$ の期待値 $\mu$ と分散 $\sigma^2$ を二項定理を用いて計算する。期待値は：

\[\begin{aligned} \sum_{x = 0}^n Bin(n, x) = \sum_{x = 0}^n\binom{n}{x}p^x(1 - p)^{n - x} &= 1 = (p + (1 - p))^n.\\ \end{aligned}\]

両辺を $p$ で微分して $p$ を乗じる。

\[\begin{aligned} \sum_{x = 0}^n x\binom{n}{x}p^{x-1}(1 - p)^{n - x} &= n(p + (1 - p))^{n - 1}\\ \sum_{x = 0}^n x\binom{n}{x}p^x(1 - p)^{n - x} &= np(p + (1 - p))^{n - 1} = np.\\ \end{aligned}\]

すると左辺は $\sum_{x = 0}^n x f(x)$ の形をしているので期待値を表している。 すなわち

\[\begin{aligned} \mu \coloneqq \sum_{x = 0}^n xf(x) = \sum_{x = 0}^n xBin(n, x) = np. \end{aligned}\]

分散は $p$ について二階微分をとって $p^2$ を乗じると出てくる：

\[\begin{aligned} \sum_{x = 0}^n x(x - 1)\binom{n}{x}p^x(1 - p)^{n - x} &= n(n - 1)p^2(p + (1 - p))^{n - 2}\\ &= n(n - 1)p^2.\\ \sum_{x = 0}^n x^2\binom{n}{x}p^x (1 - p)^{n - x} - np &= n(n - 1)p^2\\ \therefore \sum_{x = 0}^n x^2 Bin(n, x) &= np + n(n - 1)p^2. \end{aligned}\]

ここで分散の性質（期待値の平方の期待値）から

\[\begin{aligned} \sigma^2 &= \sum_{x = 0}^n(x - \mu)^2Bin(n, x)= \sum_{x = 0}^n x^2 Bin(n, x) - \mu^2\\ &= np + n(n - 1)p^2 - (np)^2\\ &= np(1 - p). \end{aligned}\]

問：5 択の問題 10 問百点満点の試験がある。あてずっぽうに答えて得られる得点の期待値と分散は？

解：$p = 1/5$ の二項分布 $Bin(10, x)$ に従う。

\[\begin{aligned} \mu &= np = 10 \cdot \frac{1}{5} = 2,\\ \sigma^2 &= np(1 - p) = 10 \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{4}{5} = 1.6\\ \sigma &= \sqrt{1.6} = 1.2649... \end{aligned}\]

したがって 1 問あたりの得点分布は $2 \pm 1.265…$ だから、これを 10 倍したものが求める値である。 $\blacksquare$

大数の法則を二項分布を例にとってかんたんに説明する。チェビシェフの不等式：

\[\begin{aligned} \forall a \gt 0 \quad \left(\frac{1}{a^2} \ge P\left(\lvert X - \mu \rvert \ge a\sigma\right)\right) \end{aligned}\]

を利用する。この不等式そのものは、確率分布の山の両裾の面積が押さえられることを示している。 ここに二項分布の値を入れてみる：

\[\begin{aligned} &P\!\left(\lvert X - np \rvert \ge a\sqrt{np(1 - p)}\right) \le \frac{1}{a^2}.\\ \therefore\:& P\!\left(\lvert X - np \rvert \le a\sqrt{np(1 - p)}\right) \ge 1 - \frac{1}{a^2}.\\ \therefore\:& P\!\left(\left\lvert \frac{X}{n} - p \right\rvert \le a\sqrt{\frac{p(1 - p)}{n}}\right) \ge 1 - \frac{1}{a^2}.\\ \end{aligned}\]

$\forall a \gt 0 \forall \varepsilon \gt 0 \exists n \in \N a\sqrt{p(1 - p)/n} \lt \varepsilon$ なので、あらためて $\varepsilon \coloneqq a\sqrt{p(1 - p)/n}$ とおいて次を得る：

\[\begin{aligned} P\!\left(\left\lvert \frac{X}{n} - p \right\rvert \le \varepsilon\right) \ge 1 - \frac{1}{a^2}.\\ \end{aligned}\]

この不等式は $X/n \to p\;(n \to \infty)$ を意味する。これを大数の法則という。

今は二項分布について大数の法則が成り立つことを示した。 チェビシェフの不等式がどんな確率分布でも成り立つことから、大数の法則もどんな分布でも成り立つ。

Poisson 確率は二項分布で $n$ を限りなく大きくとったものと考えられる。 低確率 $p$ で起こる事象が $n$ 回起こる確率の分布であると考える。

\[\begin{aligned} Bin(n, x) &= \frac{n(n-1)\dotsm(n - (x - 1))}{x!}\left(\frac{\mu}{n}\right)^x\left(1 - \frac{\mu}{n}\right)^{n - x}\\ &= \frac{\mu^x}{x!}\cdot 1\cdot\left(1 - \frac{1}{n}\right)\left(1 - \frac{2}{n}\right)\dotsm\left(1 - \frac{x - 1}{n}\right)\\ &\quad\cdot\left(\left(1 - \frac{\mu}{n}\right)^{-n/\mu}\right)^{-\mu}\left(1 - \frac{\mu}{n}\right)^{-x}\!. \end{aligned}\]

上記の式変形は微分積分の極限の議論でよく見かけるものだ。 そして $n \to \infty$ のときに

\[\begin{aligned} \lim_{n \to \infty}\left(1 \pm \frac{1}{n}\right)^n = \mathrm{e}^{\pm 1},\quad \lim_{n \to \infty}\left(1 - \frac{k}{n}\right) = 1 \end{aligned}\]

であるから、

\[\begin{aligned} \lim_{n \to \infty} Bin(n, x) &= \frac{\mu^x}{x!}\mathrm{e}^{-\mu}. \end{aligned}\]

この確率分布を $Po(\mu, x)$ と表す。$\mu$ によって定まる関数である。

$Po(\mu, x)$ の分散は対応する二項分布のそれの極限と同じであるので

\[\begin{aligned} \sigma^2 = np(1 - p) = \mu\left(1 - \frac{\mu}{n}\right) \to \mu (n \to \infty). \end{aligned}\]

Poisson 分布は期待値と分散が等しい。

例：ある図書室には一時間に平均 3 人来る。一時間の来室者数を表す確率分布を

\[\begin{aligned} Po(3, x) = \frac{3^x}{x!}\mathrm{e}^{-3}. \end{aligned}\]

であるとみなす。このとき一時間に $5$ 人以上来る確率は

\[\begin{aligned} 1 - \sum_{x = 0}^4 Po(3, x). \end{aligned}\]

Python で計算すると約 $18.47\%.$

>>> from math import exp, factorial
>>> def poisson(mu, x):
>>>     return pow(mu, x) * exp(-mu) / factorial(x)
>>> 1 - sum(poisson(3, x) for x in range(5))
0.18473675547622792

いつものように関数の中身を理解してから出来合いのものを利用する。 Poisson 分布は SciPy にも当然ある：

>>> from scipy.stats import poisson
>>> Po = poisson(3)
>>> Po.sf(4)
0.18473675547622787
>>> Po.isf(0.1847)
5.0

以上。$\blacksquare$