前作でえらく苦戦したカーミラを倒して寝る。もう 0:40 とかになっている。

9:25 起床。寝る直前までゲームをするとぐったりして起きられなくなる。 ゴミを出してついでに隅田公園を散歩して部屋に戻る。朝食は納豆とおにぎり二個。 ホームレスのときから貯めておいたレジ袋のストックがそろそろ底をつく。 今の時代、レジ袋を入手するのにも金がいる。つらい。

10:05 テレビから PC に視線を移す。地獄の伯爵令嬢のゲームをやってしまう。かんたんなデータ取り。 中央石像の報酬リストとかボスキャラの弱点を取る。よくわからないのもいる。 ランちゃんがそれで、蕩ける指輪が二つはないとキツイ。 このゲームはたまのボスキャラの首を刎ねることがあるが、それを正攻法とはみなさずにきっちり戦う。

13:20 まで。

14:15 ビッグエー墨田業平店。201 円。

  • コッペパンホイップ＆チョコ
  • キャベツメンチカツドッグ
  • ドラゴンポテト塩

柳島児童遊園で食って横川コミュニティー会館図書室へ。新聞と教科書。

タイトー F ステーションオリナス錦糸町店。 ビートマニアは Snow Goose をクリアするという快挙を達成して満足だ。 MJ のほうがひどくて、幻球バトル東風チップルールで 19 連続トップなしという不名誉な記録を更新してしまう。 誰もチップなんかかき集めていない。 幸い二着が半分くらいなのでクレジットはそれほどダメージはないが、運が悪いにもほどがあるだろう。 ザッと計算して $0.042\%$ くらいしかない。

22:40 ビッグエー墨田業平店。328 円。

  • 大きなおむすびわさびマヨ
  • 下町風のミートソース
  • 野菜ジュース 200ml

おむすびを食いながら向島に戻る。風呂に入って出たのが 23:00 過ぎ。今日は電話ボックスなし。 麻雀の練習。やはりゲーム展開に違和感がある。

Math Notes

多次元連続分布。例：統計力学の Maxwell 分布。

  • $T$ を絶対温度とする。
  • 平衡状態にある気体分子の速度成分を確率変数 $U, V, W$ とする。
  • $m$ を気体分子一個の質量とする。
  • $k$ を Bolzmann 定数とする。
  • そして $f(u, v, w)$ を速度分布の確率密度とする。
\[\begin{aligned} f(u, v, w) &= \left(\frac{m}{2\pi k T}\right)^{\frac{3}{2} } \exp\!\left(-\frac{m}{2kT}(u^2 + v^2 + w^2)\right). \end{aligned}\]

$\exp$ の性質から $f(u, v, w)$ は次のように分解できる：

\[\def\factor#1{ \frac{1}{\sqrt{2\pi} } \exp\!\left(-\frac{ {#1}^2}{2kT/m}\right)} \begin{aligned} f(u, v, w) = \factor{u}\cdot\factor{v}\cdot\factor{w}. \end{aligned}\]

この式から $U, V, W$ は互いに独立であって、それぞれ正規分布 $N(0, kT/m)$ に従っているといえる。 各方向の速度成分の間には相関関係がない。

相関関係がある場合の二次元正規分布は $X, Y$ を確率変数とすると次で表される：

\[\def\term#1{\frac{#1 - \mu_{#1} }{\sigma_{#1} } } \begin{aligned} f(x, y) = \frac{1}{2\pi\sigma_x \sigma_y\sqrt{1 - \rho_{xy}}} \exp\!\left(-\frac{1}{2(1 - \rho_{xy}^2)} \left(\left(\term{x}\right)^2 - 2\rho_{xy}\term{x}\term{y} + \left(\term{y}\right)^2\right)\right). \end{aligned}\]

ここで $\mu_x, \sigma_x^2$ は $Y$ に無関係な $X$ の平均と分散であり、 $\rho_{xy}$ は $X$ と $Y$ の共分散である。

この式から $X$ についての周辺分布 $f_1(x)$ を求めると：

\[\def\term#1{\frac{#1 - \mu_{#1} }{\sigma_{#1} } } \begin{aligned} f_1(x) &= \int_{-\infty}^\infty\!f(x, y)\,\mathrm dy\\ &= \frac{1}{2\pi\sigma_x \sigma_y\sqrt{1 - \rho_{xy}^2}} \exp\!\left(-\frac{1}{2}\left(\term{x}\right)^2\right) \int_{-\infty}^\infty\! \exp\!\left(-\frac{1}{2(1 - \rho_{xy}^2)} \left(\term{y} - \rho_{xy}\term{x}\right)^2 \right) \,\mathrm dy. \end{aligned}\]

ここで $\def\term#1{\frac{#1 - \mu_{#1}}{\sigma_{#1}}} \displaystyle t = \frac{1}{\sqrt{1 - \rho_{xy}^2}}\left(\term{y} - \rho_{xy}\term{x}\right)$ と置換すると $f_1(x)$ が正規分布 $N(\mu_x, \sigma_x^2)$ であることがわかる：

\[\def\term#1{ \frac{#1 - \mu_{#1} }{\sigma_{#1} } } \def\coef{ \exp\left(-\frac{1}{2}\left(\term{x}\right)^2\right) } \begin{aligned} f_1(x) &= \frac{1}{2\pi\sigma_x \sigma_y\sqrt{1 - \rho_{xy}^2}} \coef\int_{-\infty}^\infty\!\sigma_y\sqrt{1 - \rho_{xy}^2}\exp\!\left(-\frac{t^2}{2}\right)\mathrm dt\\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_x}\coef \int_{-\infty}^\infty\!\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\!\left(-\frac{t^2}{2}\right)\mathrm dt\\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_x}\coef\\ &= N(\mu_x, \sigma_x^2). \end{aligned}\]

共分散 $\rho_{xy} = 0$ ならば $f(x, y) = f_1(x)f_2(y)$ となり $X, Y$ は互いに独立である。

二次元正規分布 $Y$ と無関係な $X$ の期待値が $\mu_x$ であることを示す：

\[\def\term#1{ \frac{#1 - \mu_{#1} }{\sigma_{#1} } } \def\integral{ \int_{-\infty}^\infty } \def\coef{ \exp\left(-\frac{1}{2}\left(\term{x}\right)^2\right) } \def\intx{ \integral\!x\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_x}\coef\mathrm dx } \begin{aligned} E[X] &= \integral\!\mathrm dx\integral\!xf(x, y)\,\mathrm dy\\ &= \frac{1}{2\pi\sigma_x \sigma_y\sqrt{1 - \rho_{xy}^2}} \integral\!x\exp\left(-\frac{1}{2}\left(\term{x}\right)^2\right)\mathrm dx \integral\!\exp\!\left(-\frac{1}{2(1 - \rho_{xy}^2)} \left(\term{y} - \rho_{xy}\term{x}\right)^2 \right)\mathrm dy\\ &= \intx\integral\!\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\!\left(-\frac{t^2}{2}\right)\mathrm dt\\ &= \intx\\ &= \integral\!xN(\mu_x, \sigma_x^2)\,\mathrm dx\\ &= \mu_x. \end{aligned}\]

$f_1(x)$ の計算とほぼ同じ展開による。 $\blacksquare$