鈴木治郎訳『はじめての数論 原著第 3 版』より。

  • 第 41 章（母関数）
    • 母関数 a.k.a. 生成関数とは、ある数列から一意的に決まるべき級数だ。
    • べき級数の収束半径の求め方を復習する（ここでいう $\rho$ の逆数）。
    • Fibonacci 数列の母関数を有理式で表せる。 これを部分分数分解し、またべき級数に展開する。この級数の係数が Fibonacci 数列の一般項を与える。
  • 第 42 章（べき乗の和、n 角数）

    • 望遠鏡和法はたぶん知らなかった。

      \[(n + 1)^k = 1^k + (2^k - 1^k) + (3^k - 2^k) + \dotsb + ((n + 1)^k - n^k)\]

    • $C_k(n) = 1^k + \dotsb + n^k$ は $C_j (j = 0, \dotsc, k - 1$ の漸化式で計算することになる。

  • 第 43 章（楕円曲線）
    • 楕円曲線 $E: y^2 = ax^3 + bx^2 + cx + d$
    • 判別式 $\Delta(E) = ?$
    • Mordell の定理によると、判別式がゼロでない楕円曲線には有理数を座標に持つ有限個の解の集合が存在する。 そして、すべての有理数解は
      • 解の集合の 1 個の点と
      • 解の集合の 2 個の点を結ぶ直線との交点をとり、$x$ 軸に関して鏡像をとることを繰り返して得られる。
  • 第 44 章（楕円曲線）
    • 判別式がゼロでない整数係数の楕円曲線は整数解を有限個しかもたない。
    • 今は練習問題を後回しにしているが、判別式の計算はたぶん面倒。
  • 第 44 章（楕円曲線と $\bmod p$）
    • 素数と解の個数との差 $a_p = p - N_p$ が興味深い。
    • 虚数乗法という用語が出てくるが、定義は
  • 残りの章はどうする。