川口周著『代数学入門』より。

  • 部分環の定義
  • 剰余環の定義：イデアルで分類する。演算の定義の well-defined 性とか。
  • 準同型写像（環）の定義、同型（環）の定義、核と像
    • $\ker{\varphi}$ は環のイデアル
    • $\ker{\varphi} = 0$ であることと $\varphi$ が単射であることの同値性
    • $\operatorname{im}\varphi$ は部分環
    • etc.
  • 単元、零因子、べき零元の各定義
    • 単元全体は群をなす。
  • 整域：$a \ne 0 \land b \ne 0 \implies ab \ne 0$
  • 素イデアル：$ab \in \mathfrak{p} \implies a \in \mathfrak{p} \lor b \in \mathfrak{p}$
  • 直積（環）
  • 極大イデアル
  • イデアルの和と積
    • 積の定義に注意：$IJ = \bigcup\lbrace a_1b_1 + \dotsb + a_nb_n\,\mid\,a_i \in I, b_j \in J\rbrace$