川口周著『代数学入門』より。第 6 章。

  • 部分体、拡大体の定義。なぜ拡大群とか拡大環とか言わないのだろう。
    • 拡大次数 $[L : K]$ で表し「$L$ の $K$ 上のベクトル空間としての次元」とする。
    • 拡大体を拡大次数の有限性で分類する。すなわち有限次拡大体と無限次拡大体だ。専ら前者を扱う。
    • $[\Complex : \Reals] = 2,\ {[\mathbb{Q}[\sqrt{2}] : \mathbb{Q}}] = 2,\ [\Reals : \mathbb{Q}] = \infty.$
    • $L/K, K/F, [L : K] \lt \infty, [K : F] \lt \infty \implies [L : F] = [L : K][K : F].$ 証明は線形代数的になる。
  • 代数的、超越的の定義。$L/K, \alpha \in L$ とする。 このとき $\alpha$ が $K$ 上代数的であるとは、$\exists f(X) \in K[X] (f(\alpha) = 0)$ が成り立つことだ。
    • 最小多項式の定義
      • 既約である。
      • モニックである。
      • $f(\alpha) = 0$ をみたす $f(X)$ の次数が最小のものである。
    • 最小多項式の存在性と一意性。前者を示すのにイデアルの性質を用いる。
  • 単拡大体、$K$ 上 $\alpha$ で生成される体の定義。
    • $L/K, \alpha \in L$ から $K(\alpha) \coloneqq \lbrace f(\alpha)/g(\alpha)\,\mid\,f(X)\in K[X], g(X) \in K[X], g(\alpha) \ne 0\rbrace$ を構成する。
    • $K(\alpha)$ は $K \subset K(\alpha), \alpha \in K(\alpha)$ を満たす $L$ の最小の部分体だ。
    • この $\alpha$ を代数的数であり、$p(X) \in K[X]$ をその最小多項式でると仮定する。このとき
      • $K[\alpha] \cong K[X]/(p(X)).$
      • $K[\alpha] = K(\alpha).$
      • $[K(\alpha) : K] = \deg(p(X))$. さらに $K(\alpha)$ の基底は $1, \alpha, \alpha^2, \dots, \alpha^{\deg(p) - 1}$ である。

      ここまで読んだのならば、最初の二つはすぐに証明できるようでなければダメだ。

  • ガロア拡大
    • 定義：$[L : K] = \lvert\operatorname{Aut}(L/K)\rvert$ が成り立つような有限次拡大 $L/K$ のこと。
    • ガロア群：自己同型群 $\operatorname{Aut}(L/K)$ のことをいう。 これは $L$ から $L$ 自身への写像であって、$K$ 上恒等写像となるようなものの集合を表現する記号だ。