川口周著『代数学入門』より。第 6 章残りと章末問題。

  • ガロアの基本定理。有限次拡大 $L/K$ に対して、この「間」にある体 $M$ を、 自己同型群 $\operatorname{Aut}(L/K)$ の部分群に写す写像が全単射になるという。
  • (6.1a) 一言で言えば、線形代数の理論により $\exists f(X) \in \mathbb{Q}[X] \left(f(\alpha) = 0\right).$
  • (6.1b) 例えば $\sqrt{2}^3 = 2 \cdot \sqrt{2}$ であることを思うと 「$\alpha$ の $n - 1$ 次式で表せる」ことが納得できる。
  • (6.2) 代数的数を代数的に組み合わせたものはやはり代数的になることがわかったので、 $\tan$ を四則演算、べき乗で表せればいい。もっというと $\sin, \cos$ がそうであれば十分だ。
  • (6.3a) $p(X) = X^4 - 10 X^2 + 1$ はすぐに見つかるが、これが本当に既約多項式であることも示せないといけない。
  • (6.3b) 単拡大の二個版か。$f(X, Y) \in \mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ を一般的な多項式で表して $X = \sqrt{2}$ などを代入した展開式を検討すればよさそうだ。
  • (6.3c) これの前半が理解できていない。$\sqrt{2}$ と $\sqrt{3}$ を $\alpha$ の有理式で書けるのだから包含関係が成り立つと言いたいのか。 後半は両者の拡大次数が同じだから、集合としても同じだと言いたいのだ。