佐藤恒雄、野澤宗平著『初歩から学べる線形代数』より。

  • 二次曲線の標準形 $(\bm{x}, A\bm{x}) + 2(\bm{b}, \bm{x}) + d = 0$
  • 二次曲面の分類 (p. 191)
    • $X, Y, Z$ の次数がすべて 2 のものは覚えやすい。ひとつだけ 1 になっているものは覚えにくい。
    • 例によって固有値の並べ方にコツがある。
  • 正規行列 $AA^\ast = A^\ast A$
    • 実対称行列、直交行列、Hermit 行列、unitary 行列は正規行列の一種。
  • 正規行列の固有値・固有ベクトルの性質
    • $\lambda$ が $A$ の固有値のとき $\bar{\lambda}$ は $A^\ast$ のそれであり、固有ベクトルは共通する。
    • 直交性
    • 証明：$\lVert A^\ast \bm{x} - \bar{\lambda}\bm{x} \rVert^2$
  • 正規行列は unitary 行列で対角化可能であり、逆も言える。
    • 証明：$D = U^{-1}AU$ が正規行列であることを示す。$DD^\ast = D^\ast D$ を成分計算して示す。
  • 二次形式の最大・最小
    • $\dfrac{(\bm{x}, A\bm{x})}{\lVert \bm{x} \rVert}$ の最大・最小は $A$ の固有値でわかる。
    • 証明は容易い。
  • 正値・半正値の定義（半正値のほうが素直か）
  • 正値性の判定法
    • 固有値によるもの。すべての固有値をチェックする。
    • 小行列式によるもの。左上から 1 サイズずつ大きくした小行列式をすべて見ていく。