佐藤恒雄、野澤宗平著『初歩から学べる線形代数』より。

  • 以下、相似と対等を同じ記号で表すが、読み返す時に思い出すこと。
  • 対等な $x$- 行列の行列式因子は等しい
  • 行列式因子と単因子の関係
  • 対等な $x$- 行列の単因子は等しい
  • 固有 $x$-行列の定義：正方行列 $A$ に対する $x$-行列 $A - xI$ のこと。
  • 固有 $x$-行列の $n$ 次行列式因子は $d_n(x) = (-1)^n \varphi_A(x)$
    • 最高次の係数が 1 であると約束しているので $(-1)^n$ が出てくる。
  • $A \sim B \iff A - xI \sim B - xI$
  • 最小多項式の定義：記号 $m_A(x)$
    • $f(A) = O$ を満たす多項式 $f(x)$ のうち次数が最小のものかつ monic であるもの。
  • $f(A) = O$ ならば $m_A(x) \mid f(X)$ である。特に $m_A(x) \mid \varphi_A(x)$ である。

  • 固有値 $\lambda_i$ の多重度を $n_i$ とすると次が成り立つ：

    \[m_A(x) = (x - \lambda_1)^{k_1}(x - \lambda_2)^{k_2}\dotsm(x - \lambda_r)^{k_r}, \ 1 \le k_i \le n_i,\ 1 \le i \le r.\]
  • 最小多項式の具体的な求め方
    1. 固有多項式を求める
    2. その因数 $f(x)$ を総当たりで求める
    3. 次数の低いものから $f(A)$ を計算して $O$ となるものを探す。
  • 最小多項式は固有 $x$-行列の最後の単因子に等しい。
  • 直和の定義
    • 行列の対角線上に各 $x$-行列が並ぶことがだいじ。
    • 明らかに部分空間の直和と関連性がある。 以下 $\Complex$ 上で考える。
  • Jordan 細胞の定義：記号 $J_k(\lambda)$
    • $J_1(\lambda) = \lambda$
    • $J_k(\lambda) - xI$ の単因子 $\overbrace{1, 1, \dotsc, 1}^\text{k - 1}, (x - \lambda)^k$、最小多項式 $m_?(x) = (x - \lambda)^k.$
  • Jordan 行列の定義：細胞の直和で表される行列のこと。
  • Jordan ブロックの定義：固有値 $\lambda_j$ に対する細胞の直和
    • 添字がゴチャゴチャしているのでしっかりイメージできるようにする。
  • Jordan 標準形の定義
    • 正方行列 $A$ はある Jordan 行列と相似である。これを $J$ とするとある変換行列 $P$ があって $J = P^{-1}AP.$
    • $J$ は 細胞・ブロックの並び方を除けば一意的に定まる。
    • $A - xI$ の単因子それぞれを因数分解し、各 $(x - \lambda)^k$ に $A$ の標準形に含まれる細胞 $J_k(\lambda)$ が一個対応する。
    • 固有空間 $W(\lambda)$ の次元は標準形に含まれる $\lambda$ の細胞の個数に等しい。
  • 広義固有空間の定義：記号 $\widetilde{W}(\lambda)$
    • 多重度 $m$ の固有値 $\lambda$ に対する部分空間 $\lbrace\bm{x}\,\mid\,(A - \lambda I)^m = \bm{o}\rbrace$ である。
    • $\dim{\widetilde{W}} = m.$
  • Jordan 標準形の求め方：
    1. 単因子によるもの（変換行列がわからない）
    2. 一次方程式を解くことによるもの（変換行列が得られる）
      • ここがゴチャゴチャしていて理解を整理中。