小平邦彦著『岩波講座基礎数学 解析入門 II』より。

  • 一様収束

    • ふつうの収束は次のように定義する：

      \[\forall x \in I \forall \varepsilon > 0 \exists n_0(\varepsilon, x) \in \N \forall n > n_0(\varepsilon, x) \quad{|f_n(x) - f(x)|} < \varepsilon.\]

    • 一様収束の定義では、上記の $n_0$ が $x$ に依らない。ここが本質的だ。

      \[\forall \varepsilon > 0 \exists n_0(\varepsilon) \in \N \forall x \in I \forall n > n_0(\varepsilon) \quad{|f_n(x) - f(x)|} < \varepsilon.\]
    • 一様収束でない収束の例として $f(x) = x^n\ (x \in [0, 1])$ を挙げられる。

    • Cauchy の判定法

      \[\forall \varepsilon > 0 \exists n_0(\varepsilon) \in \N \forall x \in I \forall m > n_0(\varepsilon) \forall n > n_0(\varepsilon) \quad {|f_n(x) - f_m(x)|} < \varepsilon.\]
      • いつものように Cauchy の判定法は十分条件のほうが重要だ。
  • 関数列の無限級数
    • 数列の級数と同様に、収束の定義は部分列の収束をもって定義する。
    • 絶対収束の定義も数列の級数と同様にする。
    • 数列の級数とは異なり、「一様に絶対収束する」の定義が考えられる。
    • 数列の級数と同様に、「（一様に）絶対収束するならば（一様に）収束する」が成り立つ。
    • 関数列の収束性は、定義域に含まれる特定の区間において考えるのが自然だ。
  • $\lbrace f_n(x)\rbrace$ が区間 $I$ で一様収束するならば、$f(x) = \displaystyle \lim_{n \to \infty} f_n(x)$ は区間 $I$ で連続である。
    • 素朴な $\varepsilon$ 論法で示せる。
  • $\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty f_n(x)$ が区間 $I$ で一様収束するならば、
  • $\displaystyle s(x) = \sum_{n = 1}^\infty f_n(x)$ は区間 $I$ で連続である。
    • 上記命題から示せる。
  • 一様収束でない収束関数列の極限は、連続関数であるとは限らない。
  • 級数 $\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty f_n(x)$ と正項級数 $\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty a_n$ との比較： 区間 $I$ で $\lvert f_n(x)\rvert \le a_n$ が連続ならば、
    • $\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty f_n(x)$ はこの区間で一様に絶対収束する。
    • $f_n(x)$ が連続ならば $\displaystyle s(x) = \sum_{n = 1}^\infty f_n(x)$ はこの区間で連続である。 Cauchy の判定法を適用して証明する。
  • Dini の定理：区間 $[a, b]$ で次の仮定を満たす関数列は一様収束する：
    • 連続
    • 単調非増加（非減少）
    • 連続な関数に収束する
  • 級数の微分積分。一様収束する級数では、微分・積分の順序を極限をとる操作と入れ替えることが許される。 $\lbrace f_n(x)\rbrace$ を区間 $I = {[a, b]}$ で連続な関数列とし、かつ $f(x)$ に一様収束するとする。すると、
    • $f(x)$ は連続であり、
    • $\displaystyle \int_If(x)\,\mathrm{d}x = \lim_{n \to \infty}\int_If_n(x)\,\mathrm{d}x$
    • $\displaystyle \forall c \in I \forall x \in I \left(\int_c^x \sum_{n = 1}^\infty f_n(x)\,\mathrm{d}x = \sum_{n = 1}^\infty \int_c^x f_n(x)\,\mathrm{d}x\right)$
    • さらに $f_n(x)$ が $C^1$ 級ならば $\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sum_{n = 1}^\infty f_n(x) = \sum_{n = 1}^\infty \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} f_n(x)$ であり、一様収束する。
  • 一様有界の定義：$\lvert f_n(x)\rvert < M$ なる定数 $M$ が $n$ に無関係にとれる、の意。
  • Arzelà の定理：上記順序交換の定理の仮定を、一様収束性を一様有界性に緩めても成り立つ。
    • 証明は手強い。
    • かつ区間を開区間であるとできる。
  • 優関数
    • 関数 $\sigma(x)$ が関数列 $\lbrace f_n(x)\rbrace$ の優関数であるとは、次の性質がある関数をいう：
      • $f_n(x)$ と同じ区間で定義されていて、
      • 連続関数であって、
      • $\forall n \in \N \left(\lvert f_n(x)\rvert < \sigma(x) \land \sigma(x) > 0.\right)$
    • Arzelà の定理（改）：優関数が存在すれば、定義域に関する広義積分でも成り立つ。というか、任意の区間に緩められる。
  • べき級数について（収束半径、微分積分）
    • Cauchy-Hadamard の公式は基本的。
    • 有限な半径においては、収束・発散はただちに判定できない。
    • 収束半径を $r$ とすると、$0 < \rho < r$ なる $\rho$ をとれば、べき級数 $\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty a_n x^n$ は区間 ${[{-\rho}, \rho]}$ で一様に絶対収束する。
      • 結果的に区間 $(-r, r)$ で連続である。
      • べき級数 $\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty a_n x^n$ は区間 $(-r, r)$ で実解析関数である。
    • 二項級数の指数が一般の実数バージョン。
    • べき級数 $\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty a_n x^n$ が $0 < r < \infty$ で収束し、$\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty a_n r^n$ が収束するならば、 極限 $\displaystyle f(x) = \sum_{n = 1}^\infty a_n x^n$ は $(-r, r]$ で連続である。
    • べき級数 $\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty a_n x^n$ が $0 < r \le \infty$ で収束するならば、 $\lvert x\rvert < r$ において項別積分が許される。
      • 応用例： $\log(x + 1)$, $\operatorname{Arctan}(x)$, $\operatorname{Arcsin}(x)$.
  • 無限乗積
    • 極限がゼロである場合は除外して考える。級数における収束・発散の定義との違いに注意する。
    • 最初から $\displaystyle \prod_n^\infty(1 + u_n),\ u_n > -1,\ u_n \to 0\ (n \to 0)$ の場合を考察する。
    • 乗積を級数に変換する方法：$l_n = \log(1 + u_n)$ とおけば $\displaystyle \log p_m = \log\prod_n^m(1 + u_n) = \sum_{n = 1}^m l_n.$
    • それゆえ $\displaystyle \prod_n^\infty(1 + u_n)$ が収束する $\rightarrow$ $\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty l_n$ が収束する $\rightarrow$ $\displaystyle \prod_n^\infty(1 + u_n) = \mathrm{e}^s,\ s = \sum_{n = 1}^\infty l_n.$
      • ゼロの扱いに注意。
    • $\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty u_n$ が絶対収束するならば $\displaystyle \prod_n^\infty(1 + u_n)$ が収束する。
      • これをもって乗積が絶対収束するという。
      • ということは乗積の条件収束の定義もある。
      • 項の入れ替えが考えられるようになる。そして「任意の値に収束するように並び替えられるか問題」もある。

    • Wallis の公式

      \[\prod_{n = 1}^\infty \left(\!1 - \frac{1}{4n^2}\!\right) = \frac{2}{\pi}.\]

    • ガンマ関数

      \[\varGamma(s) = \lim_{m \to \infty} \frac{(m - 1)!\, m^s}{s(s + 1)\dotsm(s + m - 1)},\quad s > 0.\]
    • $\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty u_n$ と $\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty u_n^2$ が収束するならば、 $\displaystyle \prod_n^\infty(1 + u_n)$ が収束する。
      • 条件収束用判定法。