小平邦彦著『岩波講座基礎数学 解析入門 II』『III』より。

  • 二変数関数 $f(x, y)$
    • 連結の定義。開集合であることに注意。
    • 連結である条件は、任意の二点の間に（その集合の内部に）折れ線が存在することだ。
    • 領域の定義。連結開集合の意。
      • なぜこの定義をするのか：二変数関数の定義域として使われるから。
      • 以下デフォルトでは領域を記号 $D$ で表す。$f\colon D \longrightarrow \R.$
    • 閉領域の定義：ある領域の閉包。
      • 領域とその境界の和集合だ。
    • 開核の定義：点集合の内点全体からなる集合の意。
    • 閉領域の開核は領域である。閉領域は開核の閉包である。

    • 極限（二変数関数版）

      \[\left( \forall \varepsilon > 0 \exists \delta(\varepsilon) > 0 \left( 0 < {|PA|} < \delta(\varepsilon) \rightarrow {|f(P) - \alpha|} < \varepsilon \right) \right) \rightarrow \left(\lim_{P \to A}f(P) = \alpha\right)\]
    • 収束（二変数関数版）：点列 $\lbrace P_n\rbrace \subset D$ がある点 $A \in \R^2$ に収束するならば、数列 $\lbrace f(P_n)\rbrace$ が $f(A)$ に収束するという。

    • Cauchy の判定（二変数関数版）：点 $P$ が $A$ に近づくとき $f(P)$ が $f(A)$ に収束する条件は次の通り。

      \[\forall \varepsilon > 0 \exists \delta(\varepsilon) > 0 \left( 0 < {|PA|} < \delta(\varepsilon), 0 < {|QA|} < \delta(\varepsilon) \rightarrow {|f(P) - f(Q)|} < \varepsilon \right)\]

    • 連続性（二変数関数版）：関数 $f(P)$ が点 $A$ で連続であるとは、次が成り立つことを言う。

      \[\forall \varepsilon > 0 \exists \delta(\varepsilon) > 0 \left( {|PA|} < \delta(\varepsilon) \rightarrow {|f(P) - f(A)|} < \varepsilon \right)\]
    • 連続関数（二変数関数版）：定義域の各点において連続である関数のこと。
    • 一様連続（二変数関数版）およびそれに伴う性質、定理各種。

    • グラフ（二変数関数版）

      \[G_f = \lbrace (x, y, z) \mid z = f(x, y), (x, y) \in D\rbrace\]
  • 微分法（偏微分と全微分について）
    • 偏微分可能、偏微分係数の定義
    • 偏導関数の定義：可能な限り高次の偏導関数を定義する。
    • 一方の独立変数に関する偏微分可能性とは別に、二変数関数としての微分可能性を定義するべきだ。
    • 無限小（二変数関数版）：$o(\alpha(x, y))$

    • 点 $(a, b)$ で微分可能であるとは、次が成り立つことを言うことにする：

      \[\exists A \in \R \exists B \in R \quad \left( f(x, y) = f(a, b) + A(x - a) + B(y - b) + o(\sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2}) \right)\]
      • この意味で微分可能であれば、関数 $f$ はこの点において連続である。$\therefore f(x, y) \to f(a, b)\quad((x, y) \to (a, b))$
      • さらに独立変数について偏微分可能ならば、例えば $A = f_x(a, b)$ などが成り立つ。
    • 全微分

      • $z = f(x, y)$ の全微分を次で定義する。$\varDelta$ を $\mathrm{d}$ と書いても同じ。

        \[\begin{aligned} \mathrm{d}z &= \mathrm{d}f(x, y) = f_x(x, y)\varDelta x + f_y(x, y)\varDelta y,\\ \mathrm{d}z &= \frac{\partial z}{\partial x}\varDelta x + \frac{\partial z}{\partial y}\varDelta y. \end{aligned}\]
      • 各点で微分可能な関数を、その定義域で微分可能な関数と呼ぶ。
      • 一般には、閉領域の境界上の点における偏微分は考えない。一次元のときと違って複雑なものになる。
        • 例外的に、閉領域が閉区間の直積の形のものは考えられる。
    • 領域 $D$ で関数 $f(x, y)$ にどちらの偏導関数も存在してそれらが連続であるならば、$f$ は $D$ で微分可能である。
      • 証明は平均値の定理を用いる。
      • この「存在して連続する」ことを連続微分可能であるだとか、滑らかである、という。
  • 偏微分の順序について
    • 基本的なのは次：
      • $f_x, f_y, f_{xy}, f_{yx}$ が存在して、かつ $f_{xy}, f_{yx}$ が連続ならば $f_{xy} = f_{yx}.$
      • (Young) $f_x, f_y$ が存在して微分可能であるならば $f_x, f_y.$
      • (Schwarz) $f_x, f_y, f_{xy}$ が存在して、かつ $f_{xy}$ が連続ならば $f_{yx}$ も存在して $f_{yx} = f_{xy}.$
    • 関数の級（二変数関数版）：$C^n$ 級、$C^\infty$ 級
      • $n - 1$ 階導関数まではどの独立変数についても偏微分可能・連続であり、$n$ 階導関数は連続とは限らない。
    • 合成関数の微分
      • TeX 入力が面倒なので書かないが、2 タイプあることに注意する：
        • $z = f(\varphi(t), \psi(t))$
        • $z = f(\varphi(s, t), \psi(s, t))$
      • いわゆる chain rule というものだ。
      • 例にある $f(r\cos\theta, r\sin\theta)$ は頻出。
    • $C^\infty$ 級関数からなる多項式、有理式（分母は非ゼロ）はやはり $C^\infty$ 級である。

    • Taylor の公式（二変数関数版）

      \[\def\hpkp{\left(\!h \frac{\partial}{\partial x} + k \frac{\partial}{\partial y} \!\right)} f(a + h, b + k) = f(a, b) + \sum_{m = 1}^{n - 1}\hpkp^m f(a, b) + R_n,\\ R_n = \frac{1}{n!}\hpkp^n f(a + \theta h, b + \theta k), \quad 0 < \theta < 1.\]

      ここで剰余項 $R_n \to 0$ ならば：

      \[f(x, y) = f(a, b) + \sum_{n = 1}^\infty \sum_{p + q = n} \frac{1}{p! q!} \frac{\partial^{p + q}}{\partial x^p \partial y^q}f(a, b)(x - a)^p(y-q)^b.\]
  • 二重級数
    • この概念は Taylor 展開の議論に必要となる。
    • 二重数列：$\lbrace a_{mn}\rbrace$ のように添字がダブルの数列。

    • 極限：$\displaystyle \lim_{m \to \infty \atop n \to \infty}a_{mn} = \alpha$ を次のように定義する：

      \[\forall \varepsilon > 0 \exists n_0(\varepsilon) \in \N \forall m > n_0(\varepsilon) \forall n > n_0(\varepsilon) \quad {|a_{mn} - \alpha|} < \varepsilon.\]

    • Cauchy の収束判定（二重数列版）：

      \[\forall \varepsilon > 0 \exists n_0(\varepsilon) \in \N \forall m \ge \forall p > n_0(\varepsilon) \forall n \ge \forall q > n_0(\varepsilon) \quad {|a_{mn} - a_{pq}|} < \varepsilon.\]
      • 証明では $a_{nn} = a_n$ と置いて通常の Cauchy テストを使えるようにしている。
    • ここでいう極限と、従来の極限を順次とるものとでは意味が異なる。簡単な例で解る。
    • 極限 $\displaystyle \alpha = \lim_{m \to \infty \atop n \to \infty}a_{mn}$ が存在し、$n$ を止めたときに $\displaystyle \lim_{m\to\infty}a_{mn}$ が存在すれば、$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\lim_{m\to\infty}a_{mn} = \alpha.$
      • あるいは $m$ を止めて……でも成り立つ。
    • 部分和 $\displaystyle s_{mn} = \sum_{p = 1}^m \sum_{q = 1}^n a_{pq}.$
      • この収束をもって二重級数の和と定義する。
    • 絶対収束
      • Cauchy テストにより「絶対収束するならば収束する」が成り立つ。
      • 絶対収束する二重級数は、その項を任意に並び替えた「級数」もまた絶対収束して、同じ値を極限にもつ。
      • これまで見てきたことを振り返ると、絶対収束性はかなり強い性質であるといえる。
    • 条件収束
      • 二重級数における条件収束は複雑である。
    • べき級数 $\displaystyle \sum_{m, n = 0}^\infty a_{mn}x^m y^n$
      • 二重数列 $\lbrace a_{mn}\xi^m\eta^n\rbrace$ が有界ならば、対応するべき級数は $\lvert x\rvert < \lvert \xi\rvert, \lvert y\rvert < \lvert \eta\rvert$ のとき絶対収束する。
      • 証明：$\lvert a_{mn}\xi^m\eta^n\rvert < M$ とすると $\lvert a_{mn}\rvert < \dfrac{M}{ \lvert \xi\rvert^m\lvert \eta\rvert^n}.$
    • 収束域
      • 二重数列 $\lbrace a_{mn}\xi^m\eta^n\rbrace$ が有界なる $(\xi, \eta)$ に対する $\lbrace (x, y) \mid \lvert x\rvert < \lvert \xi\rvert, \lvert y\rvert < \lvert \eta\rvert\rbrace$ の和集合。

    • ここまでやってようやく二変数関数の Taylor 展開を表現できる：

      \[f(x, y) = \sum_{m, n = 0}^\infty \frac{1}{m! n!} \frac{\partial^{m + n}}{\partial x^m \partial y^n}f(a, b)(x - a)^m (y - q)^n.\]
    • 例 $f(x, y) = \dfrac{1}{1 - x - y}$ における収束域に注意する。