小平邦彦著『岩波講座基礎数学 解析入門 III』より。 第 6 章後半。難しい。

  • 二変数関数の各種極限操作順序交換。
    • 二重数列の一様収束（～について一様に収束する）
    • 二変数関数の一様連続性
    • (Th. 6.18) 一様収束性と極限の一致との関係
      • $\displaystyle \alpha_m \coloneqq \lim_{n\to\infty} a_{mn}$ が存在する。
      • $\displaystyle \lim_{m\to\inf} a_{mn}$ が存在する。
      • $\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{mn} = \alpha_m$ が $m$ に関して一様収束する。

      このとき次のことがいえる：

      • $\displaystyle \lim_{m\to\infty}\lim_{n\to\infty}a_{mn}$ が存在する。
      • $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\lim_{m\to\infty}a_{mn}$ が存在する。
      • $\displaystyle \lim_{m\to\inf} a_{mn} = \lim_{m\to\infty}\lim_{n\to\infty}a_{mn}$
      • $\displaystyle \lim_{m\to\infty}\lim_{n\to\infty}a_{mn} = \lim_{n\to\infty}\lim_{m\to\infty}a_{mn}$
    • $f(x, y)$ を $f_n(x) \coloneqq f(x, n)$ のようにとらえることで、二変数関数についても同様のことがいえる。
    • 一様収束する $f_n(x)$ に対する定積分の、極限と積分の順序交換が成り立つことが上述の定理で証明できる。
    • (Th. 6.19)
      • $f(x, t)$ が閉領域 ${[a, b]} \times {[\alpha, \beta]}$ で有界である。
      • $f(x, t)$ が $t$ あるいは $x$ を固定すれば $x$ あるいは $t$ についてそれぞれ連続である。

      ならば次が成り立つ：

      • $\displaystyle F(t) = \int_a^bf(x, t)\,\mathrm{d}x$ は連続である。
      • $\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_a^bf(x, t)\,\mathrm{d}x = \int_a^b\frac{\partial}{\partial t}f(x, t)\,\mathrm{d}x.$
      • $\displaystyle \int_\alpha^\beta\left(\int_a^bf(x, t)\,\mathrm{d}x\right)\,\mathrm{d}t = \int_a^b\left(\int_\alpha^\beta f(x, t)\,\mathrm{d}t\right)\,\mathrm{d}x.$

    • (E. 6.14) (Th 6.19) の仮定が大事な理由

      \[f(x, t) = \begin{cases} \dfrac{2xt}{(x^2 + t^2)^2},&\quad (x, t) \neq (0, 0)\\ 0,&\quad(x, t) = (0, 0). \end{cases}\]

      この関数は原点近傍で定義されているとして、(Th 6.19) でいう $F(t) = \dfrac{1}{t(t^2 + 1)}$ が $t = 0$ で連続でない。

    • (E. 6.15) (Th 6.19) の応用例

      \[\int_0^1\!x^t(\log{x})^n\,\mathrm{d}x = \frac{(-1)^n n!}{(t + 1)^{n + 1}},\quad t > 0.\]

      根拠は $\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_0^1x^t\,\mathrm{d}x = \int_0^1x^t\log{x}\,\mathrm{d}x.$

    • (Th. 6.20)
      • $f(x, t)$ が閉領域 ${[a, b]} \times {[\alpha, \beta]}$ で有界である。
      • $f(x, t)$ が $t$ あるいは $x$ を固定すれば $x$ あるいは $t$ についてそれぞれ連続である。
      • $\displaystyle \varPhi(u, t) = \int_a^uf(x, t)\,\mathrm{d}t,\quad a \le u \le b.$

      このとき以下が成り立つ：

      • $\varPhi(u, t)$ は二変数関数として連続である。
      • 次の仮定が成り立つならば：
        • $f_t(x, t)$ が存在する。
        • $f(x, t), f_x(x, t)$ がともに二変数関数として連続である。

        以下のことが成り立つ：

        • $\varPhi(u, t)$ は連続微分可能である。
        • $\varPhi_u(u, t) = f(u, t).$
        • $\displaystyle \varPhi_t(u, t) = \int_a^uf_t(x, t)\,\mathrm{d}x.$
    • (Th. 6.21) $f(x, t)$ が次を満たすとする：
      • $(a, b) \times {[\alpha, \beta]}$ で定義されている。
      • 変数 $t$ あるいは $x$ を固定すれば $x$ あるいは $t$ についてそれぞれ連続である。
      • 次を満たす関数 $\sigma(x)$ が存在する：
        • $a < x$ で連続である。
        • $\sigma(x) \ge 0.$
        • $\displaystyle \int_a^\infty\sigma(x)\,\mathrm{d}x < \infty.$
        • つねに $\lvert f(x, t)\rvert \le \sigma(x).$

      このとき、以下がすべて成り立つ：

      • $\displaystyle F(t) \coloneqq \int_a^\infty f(x, t)\,\mathrm{d}x$ は $t$ について連続である。
      • $f(x, t)$ がさらに次を満たせば：
        • $t$ について偏微分可能である。
        • $f_t(x, t)$ が $x$ について連続である。
        • 次を満たす関数 $\sigma_1(x)$ が存在する：
          • $\sigma_1(x) \ge 0.$
          • $\displaystyle \int_a^\infty\sigma_1(x)\,\mathrm{d}x < \infty.$
          • つねに $\lvert f_t(x, t)\rvert \le \sigma_1(x).$

        次も成り立つ：

        • $F(t)$ は $t$ について微分可能である。
        • $\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}F(t) = \int_a^\infty f_t(x, t)\,\mathrm{d}x$
      • $\displaystyle \int_\alpha^\beta\mathrm{d}t\int_a^\infty f(x, t)\,\mathrm{d}x = \int_a^\infty \mathrm{d}x\int_\alpha^\beta f(x, t)\mathrm{d}t.$

    • (E 6.16) (Th. 6.21) の応用

      \[\varGamma^{(n)}(s) = \int_0^\infty\!\mathrm{e}^{-x} x^{s-1}(\log{x})^n\,\mathrm{d}x,\quad s > 0.\]

    • (E 6.17) (Th. 6.21) の応用：

      \[\int_0^\infty\!\frac{\sin{x}}{x}\,\mathrm{d}x = \frac{\pi}{2}.\]
      • $\displaystyle \int_0^\infty\mathrm{e}^{-px}\cos{qx}\,\mathrm{d}x = \frac{p}{p^2 + q^2},\quad p > 0$ から始める。これを $p$ を固定して $q$ について積分記号下で積分する。
      • $\displaystyle \int_0^\infty\mathrm{e}^{-px}\frac{\sin{qx}}{x}\,\mathrm{d}x = \operatorname{Arctan}{\frac{q}{p}}.$ 両辺を $q$ について積分記号下で積分する。
      • $\displaystyle \int_0^\infty\mathrm{e}^{-px}\frac{1 - \cos{qx}}{x^2}\,\mathrm{d}x = \int_o^q\operatorname{Arctan}{\frac{q}{p}}\,\mathrm{d}q.$ ここで右辺を計算してから $q = 1$ とする。
      • $\displaystyle \int\frac{\sin{x}}{x}\,\mathrm{d}x = \frac{1 - \cos{x}}{x} + \int\frac{1 - \cos{x}}{x^2}\,\mathrm{d}x$ を使う。
  • 一般の多変数関数の微分法
    • これまで見てきた二変数関数の性質は、自然な形で多変数関数に拡張しても成り立つ。
    • 偏微分は変数の組み合わせが複雑になる。

    • 微分可能性 $z = f(x_1, \dotsc, x_n)$ について：

      \[\mathrm{d}z = \sum_{j = 1}^n \frac{\partial z}{\partial x_j}\,\mathrm{d}x_j\]

    • 合成関数の偏微分における chain rule:

      \[\frac{\partial z}{\partial x_j} = \sum_{k = 1}^n \frac{\partial z}{\partial y_k}\frac{\partial y_k}{\partial x_j}.\]
    • Taylor の公式
    • $n$ 重数列、$n$ 重級数
    • Taylor 展開